Links-/Rechtskerne, gl. Dim. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Do 10.06.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | V sei ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, $B: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K$ eine Bilinearform auf V.
Gegeben seien
[mm] E_1=\{ x \in V | B(x,y)=0 \forall y \in V\} [/mm] und
[mm] E_2=\{ y \in V | B(x,y)=0 \forall x \in V\}.
[/mm]
Zeige: [mm] dim(E_1)=dim(E_2). [/mm] |
Hi!
Hierbei weiß ich leider nicht, wie ich ran gehen kann. Ich wollte mit Widerspruchsbeweisen anfangen, also sei [mm] dim(E_1)=m [/mm] und [mm] dim(E_2)=m' [/mm] mit zuerst mal m>m'. Daraus müsste sich ja dann ein Widerspruch entwickeln, aber ich konnte leider noch keinen finden.
Ansonsten habe ich versucht eine injektive Abbildung L: [mm] E_1 \to E_2 [/mm] zu finden, da ja dann Auch [mm] dim(E_1)=0+dim(E_2) [/mm] nach der Dimensionsformel gelten müsste. Aber auch hier bekam ich nichts brauchbares raus.
Hat jemand eine Tipp für mich? Soll ich einen Ansatz vielleicht weiterverfolgen, oder sollte ich mir noch einen weiteren ausdenken?
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Ansonsten weiß ich noch, dass die Gramschen Matrizen/Darstellungsmatrizen der Bilinearform auf den 2 Unterräumen jeweils Nullmatrizen sind und dass [mm] E_1 \perp E_2 [/mm] gilt, aber irgendwie fällt mir ansonsten nichts mehr ein, das mir helfen könnte.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 11.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel,
> Ansonsten weiß ich noch, dass die Gramschen
> Matrizen/Darstellungsmatrizen der Bilinearform auf den 2
> Unterräumen jeweils Nullmatrizen sind und dass [mm]E_1 \perp E_2[/mm]
> gilt, aber irgendwie fällt mir ansonsten nichts mehr ein,
> das mir helfen könnte.
uebersetz das Problem mal wie folgt: ist $A [mm] \in \IK^{n \times n}$ [/mm] die Grammatrix, so ist [mm] $\dim E_1 [/mm] = [mm] \dim \{ x \in \IK^n x^T A = 0 \}$ [/mm] und [mm] $\dim E_2 [/mm] = [mm] \dim \{ y \in \IK^n \mid A y = 0 \} [/mm] = [mm] \ker [/mm] A$. Die Dimensionen auf der rechten Seite sind beide offensichtlich $n - rang(A)$ und somit gleich.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:27 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank, das ergibt Sinn. Schlimm, wenn man merkt, wie einfach es doch eigentlich war.
Teufel
|
|
|
|
