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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Bestimme die Wendepunkte des Graphen der Funktion f. Gib an, ob ein Minimum oder ein Maximum der Steigung vorliegt. Prüfe auch ob Sattelpunkte vorliegen.
a.) f(x) = [mm] x^4+3x^3+3x^2+x
[/mm]
b.) f(x) = [mm] x^3-2x^2-4x+8
[/mm]
c.) f(x) = [mm] x^4+2x^3+4x^2+8x-7
[/mm]
d.) f(x) = [mm] x^6+x^4+2x+1 [/mm] |
Hallo,
Bin diesmal eigentlich ganz gut zurecht gekommen.
Einzig und alleine den Teil der Aufgabenstellen [B]"Gib an, ob ein Minimum oder ein Maximum der Steigung vorliegt."[/B] habe ich nicht verstanden. Bzw. ist mir nicht klar was ich da machen muss, und wie ;)
Fangen wir einfach mal an :
a.)
f'(x) = 4x³ +9x²+6x+1
f''(x) = 12x²+18x+6
f'''(x) = 24x +18
[mm] f''(x_W) [/mm] = 0
12x² + 18x + 6 = 0 | : 12
x² +1,5x + 0,5 = 0
[mm] x_1_,_2 [/mm] : - 3/4 [mm] \pm \wurzel{(3/4)² -0,5}
[/mm]
[mm] x_1_,_2 [/mm] : -3/4 [mm] \pm [/mm] 0,25
[mm] x_W_1 [/mm] = -1 [mm] x_W_2 [/mm] = -0,5
f'''(-1) = 24*(-1) + 18 [mm] \not=
[/mm]
f'''(-0,5) = 24*(-0,5) + 18 [mm] \not=
[/mm]
An den Stellen -1 und -0,5 liegen Wendestellen vor.
Die Wendepunkte haben die Koordinaten :
[mm] W_1 [/mm] (-1|0) [mm] W_2 [/mm] (-0,5|-1/16)
f'(-1) = 0
f'(-0,5) = [mm] \not=
[/mm]
Der Wendepunkt [mm] W_1 [/mm] (-1|0) ist auch ein Sattelpunkt.
b.)
f'(x) = 3x²-4x-4
f''(x) = 6x - 2
f'''(x) = 6
f''(x) = 0
6x-2 = 0 | +2
6x = 2 | : 6
x = 1/3
[mm] x_W [/mm] = 1/3
f'''(1/3) = 6 [mm] \not=
[/mm]
An der Stelle 1/3 liegt ein Wendepunkt vor. Er hat die Koordinaten
(1/3 | 175/27).
f'(1/2) = -5
Der Wendepunkt ist kein Sattelpunkt.
c.) f'(x) = 4x³+6x²+4x+8
f''(x) =12x²+12x+4
f'''(x) =24x+12
f''(x) = 0
12x²+12x+4 = 0 | :12
x² + x + 1/3
[mm] x_1_,_2 [/mm] : -0,5 [mm] \pm \wurzel{(0,5)²-1/3}
[/mm]
[mm] x_1_,_2 [/mm] : -0,5 [mm] \pm \wurzel{-1/12}
[/mm]
Hier gibt es keine Wendestellen da unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen ist.
d.) f'(x) = [mm] 6x^5+4x^3+2
[/mm]
f''(x) = [mm] 30x^4+12x^2
[/mm]
f'''(x) = 120x³+24x
f''(x) = 0
[mm] 30x^4 [/mm] + 12x² = 0
x²(30x² + 12) = 0
[mm] x_W [/mm] = 0
30x² + 12 = 0 |-12
30x² = -12 | :30
x² = -2/5
Hier müsste man ja die Wurzel ziehen, geht nicht da die Zahl unter der Wurzel negativ wäre. Also gibt es nur eine Stell und die ist bei 0
f'''(0) = 120*0³+24*0
f'''(0) = 0
An der Stelle 0 liegt also keine Wendestelle vor.
Sind die Aufgaben so richtig?
Und Wie mach ich das mit dem Minimum u. Maximum der Steigung?
Dankeschön schonmal im Voraus,
MFG
Kristof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Funky24 |
damit sind doch sicher nur die Extrema gemeint, also eventuelle Hoch- und Tiefpunkte...
...da du weißt, wie man Wendepunkte berechnet, weißt du bestimmt auch wie man Extrema berechnet, oder?
...2.Ableitung 0 setzen...
...dieses x dann in die 3.Ableitung einsetzen, wenn Wert größer 0, dann ist es lok.Minimum, und umgekehrt..
...dann x-Wert in originalgleichung und du hast die y-Koordinate
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Kristof |
Ja klar weiß ich das ;)
Dankeschön...
Ist die Aufgabe den soweit richtig? Also ich meine die Wendepunktberechnung? War mir bei den letzten zwei also c u. d überhaupt nicht sicher.
Und noch ne kleine Frage zur errechnung der Extreme.
War es nicht so das man die 1. Ableitung mit 0 gleichsetzen musste, dann die Extremwerte bzw. Nullstellen in die 2. Ableitung einsetzen und wenn < 0 ist es ein Hochpunkt und > 0 ein Tiefpunkt?
Danke nochmal und schonmal im Voraus,
MfG
Kristof
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Hallo Kristof,
> Ist die Aufgabe den soweit richtig? Also ich meine die
> Wendepunktberechnung? War mir bei den letzten zwei also c
> u. d überhaupt nicht sicher.
>
c sieht gut aus.
d im Prinzip auch, allerdings hast du nicht ganz wasserdicht argumentiert. Das Kriterium für einen Wendepunkt " f''(x)=0 und f'''(x)>0 bzw. f'''(x)<0 " ist lediglich ein HINREICHENDES. Das bedeutet, wenn es erfüllt ist, liegt auf jeden Fall ein Wendepunkt vor. Umgekehrt bedeutet das aber nicht, dass kein Wendepunkt vorliegt, falls f''(x)=0 und f'''(x)=0.
Aber du könntest zum Beispiel mit der Art der Kurve argumentieren, immerhin geht es laut deiner Überschrift um Rechts- und Linkskurven - auch wenn du in deiner Lösung darauf gar nicht eingehst. Links von der fraglichen Stelle verläuft der Graph nämlich in einer Linkskurve - und rechts von der fraglichen Stelle verläuft er immer noch in einer Linkskurve. Und daher liegt hier kein Wendepunkt vor.
> Und noch ne kleine Frage zur errechnung der Extreme.
> War es nicht so das man die 1. Ableitung mit 0
> gleichsetzen musste, dann die Extremwerte bzw. Nullstellen
> in die 2. Ableitung einsetzen und wenn < 0 ist es ein
> Hochpunkt und > 0 ein Tiefpunkt?
Ja, aber wie auch Loddar schon geschrieben hat, zielt die Aufgabenstellung wohl eher darauf ab, dass es hier um extremale STEIGUNG geht...
Viele Grüße,
zerbinetta
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Hi,
Also ich habe da nur einen fehler gefunden und zwar bei b:
f'(x) = 3x²-4x-4
f''(x) = 6x - 2
f'''(x) = 6
Die zweite Ableitung müsste lauten:
f''(x)=6x-4
An sonsten habe ich nichts gefunden.
Jetzt zu den Minima und Maxima der Steigung:
Die Ableitung des Graphen ist seine Steigung am jeweiligen Punkt x. Wenn der Graph einen Wendepunkt hat, dann liegt bei der 1. Ableitung (also der Steigung) eine Extremstelle vor. Deswegen setzen wir auch f''(x)=0. Um nun heraus zu finden ob die Ableitung an der Wendestelle einen Extrempunkt hat, müssen wir uns den Wert der dritten Ableitung anschauen. Ist der Wert positiv liegt ein Minimum der Steigung vor, ist er negativ ein Maximum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Du sollst auch bestimmen, ob es sich bei den entsprechenden Wendepunkten um Maxima oder Minima der Steigung handeln ...
> f'''(-1) = 24*(-1) + 18 [mm]\not=[/mm]
> f'''(-0,5) = 24*(-0,5) + 18 [mm]\not=[/mm]
Von daher musst Du z.B. hier (Aufgabe a.)) den Wert der 3. Ableitung genau bestimmen und kontrollieren, ob gilt [mm] $f'''(x_w)<0 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \text{Maximum der Steigung}$ [/mm] bzw. [mm] $f'''(x_w)>0 [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \text{Minimum der Steigung}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 30.05.2006 | | Autor: | Kristof |
Also ist das mit den Hoch bzw. Tiefpunkten ja egal oder?
Danach wird ja gar nicht gefragt...
Hmm...
Danke schonmal,
MfG
Kristof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
> Also ist das mit den Hoch bzw. Tiefpunkten ja egal oder?
> Danach wird ja gar nicht gefragt...
Hm, was soll dann das hier bedeuten:
Gib an, ob ein Minimum oder ein Maximum der Steigung vorliegt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 01.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
>
>
> > Also ist das mit den Hoch bzw. Tiefpunkten ja egal oder?
> > Danach wird ja gar nicht gefragt...
>
> Hm, was soll dann das hier bedeuten:
>
> Gib an, ob ein Minimum oder ein Maximum der Steigung
> vorliegt.
Ja das ist ja klar.
Aber so wie du es in deiner Antwort davor beschrieben hast oder?
Muss man dort auch die 1. Ableitung nach [mm] x_E [/mm] untersuchen um die Hoch bzw. Tiefpunkte der Funktion feststellen zu können?
Das will die frage doch eigentlich gar nicht wissen oder?
> Gruß
> Loddar
Dankeschön,
MFG
Kristof
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Hallo Kristof!
> Muss man dort auch die 1. Ableitung nach [mm]x_E[/mm] untersuchen
> um die Hoch bzw. Tiefpunkte der Funktion feststellen zu
> können?
Nö.
> Das will die frage doch eigentlich gar nicht wissen oder?
Eben - es geht ja nicht um Extremstellen der Funktion, sondern um Extremstellen der Steigung - also um Extremstellen der Ableitung.
Viele Grüße,
zerbinetta
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