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| Aufgabe | | Sei [mm] n\in N_{+} [/mm] und A [mm] \in Mat_n(K). [/mm] Zeigen Sie : Gibt es eine Linksinverse zu A, d.h. gibt es eine Matrix B [mm] \in Mat_n(K) [/mm] mit B · A = [mm] I_n, [/mm] so ist A invertierbar und B = [mm] A^{-1} [/mm] ! |
Hallo,
bin mal eine paar alte Aufgaben durchgegangen und bin dabei auf diese Aufgabe gestossen, ich meine es wäre sogar eine alte Klausuraufgabe (die ich immernoch nicht lösen kann!). Also damals war mein Ansatz so, dass ich mit [mm] A^{-1} [/mm] von rechts multipliziert habe, allerdings darf ich ja nicht voraussetzen, dass [mm] A^{-1} [/mm] existiert, genausowenig wie [mm] B^{-1}.
[/mm]
Wäre nett wenn mir da jemand einen Denkanstoss geben könnte. Danke
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Guten Abend.
Der Beweis der Existenz von A^-1 ergibt sich aus dem Determinantenhauptsatz
Es gilt ja det(AB)=det(A)*det(B)=det E=1. Wäre A nicht invertierbar wäre det A=0. [mm] \Rightarrow [/mm] 0*det(B)=1. Widerspruch. Also ist A invertierbar. Und da BA=E ist A^-1=B. Fertig ist der Beweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 16.06.2007 | | Autor: | rainman_do |
Ahhh, sehr schön! Daran hab ich nicht gedacht. Vielen Dank.
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