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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 17.01.2016 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Für das Schaubild einer Funktion f, das überall linksgekrümmt ist, gilt:
Jede Tangente verläuft außer im Berührpunkt sonst unterhalb dieses Schaubildes.
a) Erläutere diese Aussage mit einem eigenen Beispiel.
b) Welche Folgergung ergibt sich mit dieser Aussage für die Lösbarkeit der Gleichung [mm] e^{0,5x} [/mm] -0,5x = 0 ? |
Hallo zusammen,
die in der Aufgabe getroffene Behauptung ist für mich nachvollziehbar und auch a) ist kein Problem.
Ich habe jedoch keine Idee, wie ich aufgrund der Linkskrümmung der Funktion f(x) = [mm] e^{0,5x} [/mm] - 0,5x auf die Lösbarkeit der Gleichung f(x) = 0 schhließen soll.
Ich hätte von der Funktion den Tiefpunkt T(0/1) berechnet und da dieser oberhalb der x-Achse liegt und keine weiteren Extrempunkte vorhanden sind (und f stetig ist) auf die Unlösbarkeit der Gleichung geschlossen.
Was kann ich jedoch mit der bekannten Linkskrümmung anfangen ?
Vielen Dank für eure Antworten
Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
Im Sinne der Aufgabe würde ich sagen:
Es handelt sich hier um die Frage nach dem Schnittpunkt der e-Funktion [mm] $f(x)=e^{0,5*x}$ [/mm] und der Graden [mm] $g(x)=0,5\cdot [/mm] x$.
Es kann folglich wegen der Linkskrümmung keine, eine oder zwei Schnittpunkte geben.
Löse nun [mm] $f'(x_0)=0,5_{}$ [/mm] nach [mm] x_0 [/mm] auf und prüfe, ob [mm] f(x_0) [/mm] größer, kleiner oder gleich [mm] g(x_0) [/mm] ist. Im Fall "gleich" ist die Grade eine Tangente, und bei [mm] x_0 [/mm] ist der Berührpunkt. Es ist gleichzeitig die einzige Lösung der Gleichung. Im Fall "größer" gibt es keine Lösung, im Fall "kleiner" gibt es genau zwei, eine rechts, eine links von [mm] x_0.
[/mm]
Im Prinzip ist deine Argumentation ganz ähnlich, aber ich denke, das hier ist eher im Sinne der Aufgabe.
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