Lipschitz-St. und Diff.barkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 25.03.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Es sei [mm]V[/mm] ein normierter Vektorraum über [mm] \IC,[/mm] [mm]I[/mm] ein kompaktes Intervall und [mm]f: I \to V[/mm]. Formuliert man den (ersten) Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen, kann man ja relativ einfach beweisen, dass falls [mm]f[/mm] (zumindest) im Innern von [mm]I[/mm] differenzierbar ist und ihre Ableitung beschränkt ist, es sich bei [mm]f[/mm] um eine Lipschitz-stetige Funktion handelt. Dies ist (aufgrund des Satzes von Heine) insbesondere für [mm]f \in C^{1}(I,V)[/mm] der Fall.
Nun zu meiner Frage: Ist es nicht so, dass sogar jede differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung Lipschitz-stetig ist? Also dies auch im Fall differenzierbarer Abbildungen, die nicht auf einem kompakten Intervall (etwa sogar auf [mm] \IC) [/mm] definiert sind, gilt?
Zu dieser Annahme hat mich einerseits der wikipedia-artikel über die Lipschitz-Stetigkeit geführt (dort wird behauptet, dass jede reelle auf einem Interval (egal ob beschränkt, offen, abgeschlossen,..) definierte differenzierbare Abbildung mit beschränkter Abbildung Lipschitz-stetig ist), andererseits ergibt sich mir dies auch, wenn ich die Lipschitz-Bedingung umforme....
Ist das wirklich so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Fr 25.03.2011 | | Autor: | phychem |
Also. Dass die von wikipedia zitierte Aussage richtig ist, kann ich mittlereilen nachvollziehen:
Der Mittelwertsatz bzw. die aus diesem für vektorwertige Funktionen resultierende Abschätzung beziehen sich zwar auf kompakte Intervalle, die Folgerung, dass bei beschränkter Ableitung die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist, gilt offensichtlich aber für jede Art von Intervall.
Ich denke in dem mir vorliegenden Skript wird wohl nur deshalb von einem kompakten Intervall gesprochen, um direkt auf die Aussage "[mm]f \in C^{1}(I,V)[/mm] ist mit Sicherheit Lipschitz-stetig" schliessen zu können (diese Aussage gilt nämlich tatsächlich nur dann, wenn I kompakt ist).
Nun fehlt mir eigentlich nur noch eine Antwort auf folgende Frage:
Sind differenzierbare Funktionen mit beschränkten Ableitung generell Lipschitz-stetig?
Im Fall eines Intervalles als Definitionsbereich, ist dies ja wie eben erwähnt bereits bekannt. Aber was ist, wenn die gegebene Funktion nicht auf einem Intervall definiert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Sa 26.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, warum glaubst du deinem beweis nicht?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:08 Sa 26.03.2011 | | Autor: | phychem |
Naja, es handelt sich weniger um einen Beweis als einfach um eine Überlegung:
Es sei [mm]f: \IC \to V[/mm]. Die Lipschitz-Bedingung lautet ja: Es gibt ein [mm]0 \le L[/mm] mit:
[mm]||f(x)-f(y)|| \le L*|x-y|[/mm] , [mm]x,y\in \IC[/mm]
Anders formuliert:
[mm]\bruch{||f(x)-f(y)||}{|x-y| } \le L[/mm] , [mm]x,y\in \IC[/mm] mit [mm]x\not=y[/mm]
Dies lässt sich doch auch so formulieren:
i) Für jedes [mm] x_{0}\in \IC [/mm] ist folgende Funktion beschränkt:
[mm]\bruch{||f(x)-f(x_{0})||}{|x-x_{0}| }[/mm] , [mm]x\in \IC[/mm] mit [mm]x\not=x_{0}[/mm]
ii) Die Menge aller Schranken dieser Funktionen ist wiederum beschränkt.
Richtig?
Die Beschränktheit einer solchen Funktion
[mm]\bruch{||f(x)-f(x_{0})||}{|x-x_{0}| }[/mm] , [mm]x\in \IC[/mm] mit [mm]x\not=x_{0}[/mm]
bedeutet zwar nicht zwingend auch die Wohldefiniertheit eines Grenzwertes (bzgl. dieses Quotienten) im jeweiligen Punkt [mm] x_{0} [/mm] (oder eines anderen Punktes), sollte aber einer solchen definiert sein, ist die jeweilige Funktion mit Sicherheit beschränkt.
Richtig?
Sollte nun für jedes [mm] x_{0}\in \IC [/mm] der Differenzenquotient
[mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }[/mm] , [mm]x\in \IC[/mm] mit [mm]x\not=x_{0}[/mm]
einen Grenzwert in [mm] x_{0} [/mm] besitzen, f also differenzierbar sein, besitzen auch alle Quotienten
[mm]\bruch{||f(x)-f(x_{0})||}{|x-x_{0}| }[/mm] , [mm]x\in \IC[/mm] mit [mm]x\not=x_{0}[/mm]
einen Grenzwert. Bedingung i) wäre damit erfüllt.
Richtig?
Sollte die Ableitung von f beschränkt sein, wäre dann auch Bedingung ii) erfüllt, f also Lipschitz-stetig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Sa 26.03.2011 | | Autor: | phychem |
Ups. Hab nochmals darüber nachgedacht. Das ist natürlich Schwachsinn. Die Existenz eines Grenzwertes sagt ja nichts über die Beschränktheit der Funktion aus (hab da wohl an Folgen gedacht).
Die Aussage
Differenzierbar + Beschränkte Ableitung [mm] \Rightarrow [/mm] Lipschitz-stetig
gilt wohl nur für Abbildungen von Intervallen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mo 28.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Es sei [mm]V[/mm] ein normierter Vektorraum über [mm]\IC,[/mm] [mm]I[/mm] ein
> kompaktes Intervall und [mm]f: I \to V[/mm]. Formuliert man den
> (ersten) Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen,
Das möchte ich mal sehen, wie Du das machst .....
Im allgemeinen gibt es keinen MWS für vektorwertige Funktionen !
Beispiel: wir nehmen $I:=[0. 2 [mm] \pi]$ [/mm] , [mm] $V:=\IC$ [/mm] und $f(t):= [mm] e^{it}$. [/mm] Würde nun der MWS für die obigen Zutaten gelten, so gäbe es ein $t [mm] \in [/mm] [0. 2 [mm] \pi]$ [/mm] mit:
$f(2 [mm] \pi)-f(0)= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] * f'(t)$,
also
$0=2 [mm] \pi i*e^{it}$, [/mm]
was aber absurd ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 28.03.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Naja, das war etwas ungeschickt formuliert. Der Mittelwertsatz gilt für vektorwertige Funktionen natürlich nicht. Man kann aber aus ihm eine Abschätzung für vektorwertige Funktionen ableiten. Nämlich:
Ist [mm](V,\parallel*\parallel)[/mm] ein normierter K-Vektorraum, [a,b] ein kompaktes perfektes Intervall und [mm]f \in C([a,b],V)[/mm] in (a,b) differenzierbar, so gilt:
[mm]\parallel f(b)-f(a) \parallel \le sup_{t\in(a,b)}(|f'(t)|)(b-a)[/mm]
Ich meinte diese Abschätzung.
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