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| Aufgabe | Eine Funktion f mit Definitionsgebiet X heißt Lipschitz-stetig, falls eine Konstante L existiert mit der Eigenschaft |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X.
Die kleinste Zahl L, für welche diese Ungleichung gilt, nennt man auch Lipschitz-Konstande von f. Wir betrachten die Funktion
(x falls 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1);
N(x):= (2-x falls 1< x [mm] \le [/mm] 2);
(0 sonst).
(i) Weisen Sie nach, dass N Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L=1 ist.
(ii) Sei jetzt {an}n=0 bis [mm] \infty [/mm] eine völlig beliebige Folge reeller Zahlen. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingung an die Folge {an}n an, so dass die Reihe f(x):= [mm] \summe_{i=0}^{ \infty } anN(2^{n}x) [/mm] für jedes x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
(iii) Zeigen Sie, dass aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an= 0 die Stetigkeit von f auf ganz [mm] \IR [/mm] folgt. |
HILFE!!!
Kann mir jemand bei dieser AUfgabe helfen?
Ich verzweifel daran...kann absolut nichts damit anfangen.
Habe mir auch schon auf Wikipedia.de was dazu durchgelesen aber ich verstehe das einfach nicht. *heul*
Wäre echt super wenn mir jemand helfen würde.
Danke, Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 13.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo Jennymaus, ...
(i) Das lässt sich über Fallunterscheidungen recht einfach auflösen...
(ii) Das ist ansich ganz einfach, du musst an [mm] a_n [/mm] absolut keine Bedingungen stellen. Die Funktion ist für jede dieser Folgen konvergent, da die Funktion [mm] N(2^nx) [/mm] ab einen bestimmten n ja 0 wird und somit ab diesem n die Summe nurnoch aus Elementen vom Wert 0 besteht. Damit ist es quasi eine endliche Summe, und die ist ja bekanntlich konvergent
Ich hoffe das hilft dir noch etwas, auch wenn die Fälligkeit abgelaufen ist
mfG Zaed
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