Lipschitz-Stetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei U eine konvexe offene Menge im [mm] \IR^n. [/mm] Man zeige: Ist [mm] f:U\rightarrow\IR [/mm] eine stetig partiell differenzierbare Funktion und sind die partiellen Ableitungen von f beschränkt auf U, so ist f Lipschitz-stetig.
b) Man bestimme die Näherungslösung des Anfangswertproblems
[mm] \left\{\begin{matrix}
& \dot x = \frac{1}{1+t^2 x^2} \\
& x(0) = 1.
\end{matrix}\right} [/mm] |
Meine Frage ist nun, wie löst man solche Aufgaben wie in Aufgabe a)? Wie bring ich die allgemeine Definition [mm] \left|\left| f(x) - f(y) \right|\right| \le L\cdot\left|\left|x-y\right|\right| [/mm] mit der Beschränktheit der partiellen ersten Ableitung von f?
Die Aufgabe b) stellt für mich auch ein Problem dar...
Ein Ansatz der mir geflüstert wurde; y=x+(y-x) mit (y-x)=h [mm] \rightarrow [/mm] f(y)=f(x+(y-x))=f(x+h) bringt mich auch nicht wirklich weiter...
Mit bestem Dank
gruß Haldir
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zur a): Wenn man's mal umschreibt, dann sieht die Lipschitzbedingung doch schwer nach Sekantensteigung aus [mm](\bruch{\left|\left| f(x) - f(y) \right|\right|}{\left|\left|x-y\right|\right|} )[/mm], von da auf Tangenten zu kommen (bzw. umgekehrt), sollte nicht so schwer sein...
Zur b): Was hattet ihr denn in der Vorlesung an Methoden für Näherungslösungen? Du könntest es mit einer Taylor-Entwicklung um den Anfangswert versuchen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 04.11.2007 | | Autor: | Haldir82 |
Das Problem ist, dass wir der Vorlesung immer eine Woche vorraus sind... Deshalb haben wir noch gar keine Näherung besprochen. Werd mich erstmal über die Aufgabe weiter setzen und sehen, was ich tun kann.
Danke Dir...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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