Lipschitz-Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:39 Di 18.01.2005 | | Autor: | djralle |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich möchte nachweisen, dass folgende Bedingung gilt:
[mm] e^{-|x|}-e^{-|y|} \le |x-y| [/mm]
Also die Lipschitz-Stetigkeit. Wenn ich mir den Funktionsplot anschaue, sehe ich das die obere Gleichung gültig ist.
Da die Funktion [mm]e^{-|x|}[/mm] nicht differenzierbar im Punkt 0 ist, kann ich den Mittelwertsatz nicht anwenden. Ich habe es mit Abschätzungen bzgl. der e-Funktion probiert, jedoch keine Lösung gefunden.
Kann mir jemand helfen
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 18.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für x,y>0 liegt [mm] e^{-x} [/mm] oberhalb der Geraden y=-x+1 für x,y<0 oberhalb y=x+1. dier Betrag der Steigung istin jedem Pkt außer 0 also klener als 1 (jeweils die Tangente),
d.h. du kannst rechtsseitig und linksseitig beweisen. für x<0,y>0 oder umgekehrt stimmt die Ungleichung nicht:
Ich hoffe das hilf dir
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mi 19.01.2005 | | Autor: | djralle |
Danke für die Antwort. Mit dieser Abschätzung habe ich es auch schon probiert, nur die gilt halt nicht für alle x und y. Wenn ich mir den Funktionsplot jedoch anschaue gilt aber
[mm]e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y| \le 0 [/mm]
Ich kann zeigen [mm] \limes_{|x|\rightarrow\infty}e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y| \rightarrow -\infty[/mm]. Wenn ich jetzt noch zeige, dass das Maximum [mm] \max (e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y|) \le 0 [/mm] hätte ich das doch bewiesen, da die Funktion ja stetig ist. Aber im Moment kein Gedanke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Danke für die Antwort. Mit dieser Abschätzung habe ich es
> auch schon probiert, nur die gilt halt nicht für alle x und
> y. Wenn ich mir den Funktionsplot jedoch anschaue gilt
> aber
> [mm]e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y| \le 0[/mm]
Du kannst [mm] e^{x} [/mm] immer abschätzen durch [mm] e^{x}>1+x +x^{2}/2 [/mm]
das letzte Glied brauchst du gar nicht. wie man auf die Abschätzung kommt hängt von der Art ab wie [mm] e^{x} [/mm] definiert wurde. natrlich in die Abschätzung -|x| einsetzen
Tschüss leduart
> Ich kann zeigen
> [mm]\limes_{|x|\rightarrow\infty}e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y| \rightarrow -\infty[/mm].
> Wenn ich jetzt noch zeige, dass das Maximum [mm]\max (e^{-|x|}-e^{-|y|}-|x-y|) \le 0[/mm]
> hätte ich das doch bewiesen, da die Funktion ja stetig ist.
> Aber im Moment kein Gedanke
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 20.01.2005 | | Autor: | djralle |
Mit einer Fallunterscheidung kann man es für alle x,y zeigen
Für $|x| [mm] \ge [/mm] |y|$ gilt:
[mm]e^{-|x|} \le e^{-|y|} \Rightarrow e^{-|x|} - e^{-|y|} \le 0 \le |x-y|[/mm]
Für $|x| [mm] \le [/mm] |y|$ gilt:
[mm]e^{-|x|} -e^{-|y|} = e^{-|x|} \left( 1- e^{-|y|+|x|} \right) [/mm]
Da für diesen Fall der Audruck in der Klammer größer als 0 ist gilt
[mm] e^{-|x|} \left( 1- e^{-|y|+|x|} \right) \le 1- e^{-|y|+|x|} \le 1-(-|y|+|x|+1) = |y|-|x| \le |y-x| = |x-y| [/mm]
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