Lipschitz-stetig < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 23.02.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Sind folgende DGL Lipschitz-stetig? :
[mm] y' = sin(y) [/mm]
[mm] y' = y^{\bruch{2}{3}} [/mm] |
Hallo Leute,
ich lerne grad für eine DGL Prüfung und komme nicht weiter.
Ich sooll Lipschitz-stetigkeit einer DGL zeigen, aber wie genau gehe ich vor? Löse ich die DGL erst und versuche dann die Abschätzung:
[mm] || f(x)-f(y) || \le L||x-y|| [/mm]
dann stellt sich mir die Frage, wie genau diese Abschätzung im Falle der DGL aussehen würde. Wenn ich die Löse, erhalte ich ja irgendwas der Form y(x). nehme ich dann y(x) und y(z) o.ä.?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 23.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Die DGL $ y' = sin(y) $ ist von der Form
$ y' = f(x,y) $ mit $f(x,y) =sin(y)$
Es ist $|f(x,y)-f(x,z)|=|sin(y)-sin(z)| [mm] \le [/mm] |y-z|$
Begründe Du das " [mm] \le [/mm] "
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 23.02.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Fred,
danke für deine schnelle Antwort.
Also ich würde das jetzt dadurch begründen, dass der sinus ja nur werte zwischen -1 und 1 annimmt, wogegen man bei den x,y ja alles einsetzen kann.
Für die zweite ergibt sich dann [mm] y' = f(x,y) [/mm] mit [mm] f(x,y) = y^{\bruch{2}{3}} [/mm] .
Dann erhält man [mm] || y^{\bruch{2}{3}} - z^{\bruch{2}{3}}|| \le L ||y-z|| [/mm]
Ich weiß, dass jede Zahl mit der Potenz kleiner ist als die reine Zahl. Kann ich damit weiter argumentieren?
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 23.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Also ich würde das jetzt dadurch begründen, dass der
> sinus ja nur werte zwischen -1 und 1 annimmt, wogegen man
> bei den x,y ja alles einsetzen kann.
Das ist doch wischi-waschi ! Mittelwertsatz !
>
> Für die zweite ergibt sich dann [mm]y' = f(x,y)[/mm] mit [mm]f(x,y) = y^{\bruch{2}{3}}[/mm]
> .
> Dann erhält man [mm]|| y^{\bruch{2}{3}} - z^{\bruch{2}{3}}|| \le L ||y-z||[/mm]
Solch ein L gibt es nicht !
FRED
> Ich weiß, dass jede Zahl mit der Potenz kleiner ist als
> die reine Zahl. Kann ich damit weiter argumentieren?
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 23.02.2014 | | Autor: | Katthi |
Mit Mittelwertsatz gilt für die x,y ein [mm] \eta \in [x,y] [/mm]:
[mm] \bruch{|sin(x)-sin(y)|}{|x-y|} = sin'(\eta) = cos(\eta) [/mm]
Wenn man jetzt weiß, dass der cosinus nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, dann hat man es korrekt.
Kann ich das dann auch anwenden um zuzeigen, dass es ein solches L für die zweite eben nicht gibt oder wie würde ich das berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit Mittelwertsatz gilt für die x,y ein [mm]\eta \in [x,y] [/mm]:
das gilt im Falle $x [mm] \le [/mm] y$ - sowas solltest Du auch dazuschreiben, dass Du
das o.E. annehmen kannst (eventuell mit einer Begründung, warum Du
das o.E.annehmen darfst). Übrigens stehen bei Freds Ursprungsungleichung
nicht [mm] $x,y\,,$ [/mm] sondern [mm] $y,z\,$ [/mm] da - pass' halt auf, dass Du da mit den Bezeichnungen
nicht durcheinander kommst!
>
> [mm]\bruch{|sin(x)-sin(y)|}{|x-y|} = sin'(\eta) = cos(\eta)[/mm]
>
> Wenn man jetzt weiß, dass der cosinus nur Werte zwischen
> -1 und 1 annimmt, dann hat man es korrekt.
Nein, Du musst sauber schreiben (ich mache mir jetzt keine Gedanken über
eventuelle Variablen-Falsch-Bezeichnungen, ich denke, die kannst Du selbst
anpassen): Es gibt ein [mm] $\eta$ [/mm] wie bei Dir mit
[mm] $\frac{\sin(x)-\sin(y)}{x-y}=\cos(\eta)\,,$
[/mm]
daraus folgt
[mm] $\left(\frac{|\sin(x)-\sin(y)|}{|x-y|}=\;\;\right)$ $\red{\left|\black{\frac{\sin(x)-\sin(y)}{x-y}}\right|}=\red{|}\cos(\eta)\red{|}\,.$
[/mm]
Und nun ist (wegen [mm] $\eta \in \IR$) [/mm] bekanntlich
[mm] $|\cos(\eta)|$ $\le$ $1\,,$
[/mm]
also...?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mo 24.02.2014 | | Autor: | Katthi |
Ach stimmt, war mit den Variablen durcheinander. Danke Marcel.
Und den Betrag zu verwenden ist natürlich auch sinnvoll, da meine Lipschitz-Konstante ja positiv ist.
Und nun weiß ich daraus ja, dass in diesem Fall mein [mm] L =1 [/mm] ist.
Und beim zweiten würde ich erhalten, dass [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{z}} \le L [/mm] ist, nachdem ich nach L umgestellt habe. Schaue ich mir nun aber auch ein z, welches nah bei 0 ist an, so geht die linke Seite gegen unendlich, wobei dann die Begrenzung von L keinen Sinn macht.
Danke für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach stimmt, war mit den Variablen durcheinander. Danke
> Marcel.
>
> Und den Betrag zu verwenden ist natürlich auch sinnvoll,
> da meine Lipschitz-Konstante ja positiv ist.
1. Deine Lipschitzkonstante ? Gehört die Dir ?
2. Ist f eine Lipschitzstetige Funktion auf einem Intervall mit Lipschitzkonstante L=0, so ist f konstant=0.
> Und nun weiß ich daraus ja, dass in diesem Fall mein [mm]L =1[/mm]
Ja, L kannst Du so wählen, aber auch L=4711
> ist.
>
>
> Und beim zweiten würde ich erhalten, dass
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{z}} \le L[/mm] ist, nachdem ich nach L
> umgestellt habe. Schaue ich mir nun aber auch ein z,
> welches nah bei 0 ist an, so geht die linke Seite gegen
> unendlich, wobei dann die Begrenzung von L keinen Sinn
> macht.
So ist es.
FRED
>
> Danke für eure Hilfe.
>
> Viele Grüße,
> Katthi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mo 24.02.2014 | | Autor: | Katthi |
Vielen Dank :)
Ja diese gehört mir ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:20 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich das dann auch anwenden um zuzeigen, dass es ein
> solches L für die zweite eben nicht gibt oder wie würde
> ich das berechnen?
Nimm an, es gäbe ein L mit
$ | [mm] y^{\bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] z^{\bruch{2}{3}}| \le [/mm] L |y-z|$ für alle y,z [mm] \ge [/mm] 0
Mit y=0 würde folgen
$1 [mm] \le [/mm] L* [mm] \wurzel[3]{z}$ [/mm] für alle z>0.
Geht das gut ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo,
nochmal eine kurze Nachfrage. Kann ich nicht prinzipiell auch die zweite mit dem MWS lösen? Hier kann ich ja auch ein [mm] \eta [/mm] finden, dies in die Ableitung einsetzen. Dann kann ich ja auch sagen, dass mein [mm] \eta \rightarrow 0 [/mm] dazuführt, dass das ganze gegen Unendlich läuft und somit die Begrenzung durch L keinen Sinn macht?
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 10.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> nochmal eine kurze Nachfrage. Kann ich nicht prinzipiell
> auch die zweite mit dem MWS lösen? Hier kann ich ja auch
> ein [mm]\eta[/mm] finden, dies in die Ableitung einsetzen. Dann kann
> ich ja auch sagen, dass mein [mm]\eta \rightarrow 0[/mm] dazuführt,
> dass das ganze gegen Unendlich läuft und somit die
> Begrenzung durch L keinen Sinn macht?
mach mal vor, wie Du Dir das vorstellst.
FRED
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:09 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Die Funktion [mm] y^{\bruch{2}{3}} [/mm] ist auf [y,z] definiert und stetig mit [mm] 0 \le y < z [/mm] . Dann gibt es ein [mm] \eta \in [y,z] [/mm] sodass:
[mm] \bruch{y^{\bruch{2}{3}}-z^{\bruch{2}{3}}}{y-z} = \bruch{2}{3} \bruch{1}{\wurzel[3]{\eta}} [/mm]
Dann gilt
[mm] \bruch{|y^{\bruch{2}{3}}-z^{\bruch{2}{3}}|}{|y-z|} = |\bruch{2}{3} \bruch{1}{\wurzel[3]{\eta}} | [/mm]
Wenn das [mm] \eta [/mm] nun nahe bei Null ist (kann ja sein, weil ich die allgemeine Lipschitzstetigkeit zeigen soll und nicht nur in einem bestimmten Intervall), dann geht der Ausdruck gegen Unendlich, was gleichbedeutend damit ist, dass [mm] \infty \le L [/mm] ist, wobei L die Lipschitzkonstante ist.
Oder sehe ich das falsch?
Viele Grüße,
Katthi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 14.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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