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Forum "Differentialgleichungen" - Lipschitz-stetig Vektorfkt.
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Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Mo 21.09.2009
Autor: JazZi

Aufgabe
Gegeben sei die Differentialgleichung
[mm] \begin{cases}x'(t) = -y(t) -z(t)\\y'(t)=x(t)+0.2y(t)\\ z'(t)=0.2 + z(t)x(t) -5 \end{cases} [/mm]

Ich habe diese Differentialgleichung in eine Runge-Kutta-Verfahren zu integrieren und muss unter anderem die KOnvergenzordnung des Verfahrens bestimmen.
Die Konsistenzordnung ist mir bereits bekannt: p=4
jetzt gibt es ja einen Satz, der besagt, dass die Konvergenzordnung ebenfalls 4 ist, wenn die rechte Seite des Anfangswertproblems Lipschitz-stetig ist.
meine rechte Seite hat ja genau die Form der rechten Seite der Differentialgleichung.
aber wie bestimmt man bei einer Vektorfunktion

[mm] f(t,\vektor{x\\y\\z}) [/mm] = [mm] \vektor{-y(t) -z(t)\\x(t)+0.2y(t)\\ 0.2 + z(t)x(t) -5}, [/mm]

ob diese nun Lipschitz-stetig ist, oder nicht?

Vielen Dank schon mal im Voraus, jazZi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt

        
Bezug
Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mo 21.09.2009
Autor: pelzig


> Gegeben sei die Differentialgleichung
>  [mm]\begin{cases}x'(t) = -y(t) -z(t)\\y'(t)=x(t)+0.2y(t)\\ z'(t)=0.2 + z(t)x(t) -5 \end{cases}[/mm]
>  
> Ich habe diese Differentialgleichung in eine
> Runge-Kutta-Verfahren zu integrieren und muss unter anderem
> die KOnvergenzordnung des Verfahrens bestimmen.
>  Die Konsistenzordnung ist mir bereits bekannt: p=4
>  jetzt gibt es ja einen Satz, der besagt, dass die
> Konvergenzordnung ebenfalls 4 ist, wenn die rechte Seite
> des Anfangswertproblems Lipschitz-stetig ist.
>  meine rechte Seite hat ja genau die Form der rechten Seite
> der Differentialgleichung.
>  aber wie bestimmt man bei einer Vektorfunktion
>  
> [mm]f(t,\vektor{x\\y\\z})[/mm] = [mm]\vektor{-y(t) -z(t)\\x(t)+0.2y(t)\\ 0.2 + z(t)x(t) -5},[/mm]

Ich finde das etwas seltsam, wieso schreibst du hier auf der rechten Seite immer x(t), y(t) usw? Das Vektorfeld muss eine Abbildung von [mm] $\IR\times\IR^3\to\IR^3$ [/mm] sein, meinst du es vielleicht so: [mm] $$f(t,\vec{x})=f(\vec{x})=\pmat{-x_2-x_3\\x_1+0.2x_2\\0.2+x_1x_3-5}$$ [/mm] Dieses Vektorfeld wäre dann autonom, d.h. nicht von der Zeit t abhängig.
  

> ob diese nun Lipschitz-stetig ist, oder nicht?

Also für setig diffbare Vektorfelder (wie dieses) kannst du schauen ob die Ableitung auf dem interessierenden Gebiet beschränkt bleibt. Wenn das interessierende Gebiet kompakt ist, dann ist das Vektorfeld darauf automatisch Lipschitz-stetig.

Viele Grüße,
Robert

Bezug
                
Bezug
Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mo 21.09.2009
Autor: JazZi

Ich habe diese Form aus der Aufgabenstellung so entnommen!
Insofern muss ich doch davon ausgehen, dass es auch so gemeint ist oder? andernfalls, genau diese werte für x(t),... soll cih ja mit dem runge-kutta-verfahren annähern, das heißt zur berechnung muss ich genau die form anwenden, die du geschrieben hast. die frage ist nur:
kann ich das zu rbestimmung der lipschitz-stetigkeit auch so benutzen?

Bezug
                        
Bezug
Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mo 21.09.2009
Autor: pelzig


> Ich habe diese Form aus der Aufgabenstellung so entnommen!
>  Insofern muss ich doch davon ausgehen, dass es auch so
> gemeint ist oder? andernfalls, genau diese werte für
> x(t),... soll cih ja mit dem runge-kutta-verfahren
> annähern, das heißt zur berechnung muss ich genau die
> form anwenden, die du geschrieben hast.

Ja, es wird schon alles seine Richtigkeit haben. Man darf halt nur nix durcheinanderhauen: Das Vektorfeld ist die Funktion [mm] $f:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] und die Lösung des AWP ist eine Funktion [mm] $x:\IR\to\IR^3$ [/mm] mit $x'(t)=f(x(t))$, aber das weißt du ja selber.

> die frage ist nur: kann ich das zu rbestimmung
> der lipschitz-stetigkeit auch so benutzen?

Ja. Entscheidend ist die L.-Stetigkeit des Vektorfeldes, also der Funktion f.

Gruß, Robert


Bezug
                                
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Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mo 21.09.2009
Autor: JazZi

okay, dann versuche ich mal mein glück! ich muss ja dann einfach nur beachten, dass ich 3 Lösungen suche, nämlich [mm] x,y,z:\IR\to\IR^3. [/mm]

aber danke schon mal :)

Bezug
                                        
Bezug
Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Mo 21.09.2009
Autor: pelzig


> okay, dann versuche ich mal mein glück! ich muss ja dann
> einfach nur beachten, dass ich 3 Lösungen suche, nämlich
> [mm]x,y,z:\IR\to\IR^3.[/mm]

Nee, nicht ganz. Die Dinger, die du in deinem Ausgangspost x,y und z genannt hast, sind Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] aber die "Lösung des AWP" (mit dem Vektorfeld und so weiter) ist eine Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR^3, [/mm] nämlich [mm] $t\mapsto(x(t),y(t),z(t))$. [/mm]

Gruß, Robert

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Bezug
Lipschitz-stetig Vektorfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Di 22.09.2009
Autor: JazZi

ja na gut, ich meine ja im prinzip das gleiche wie du ;)
trotzdem danke :)

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