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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen erfüllt eine Lipschitzbedingung in y auf dem Intervall [mm] I=[0,\infty)? [/mm] Geben Sie gegebenenfalls eine Lipschitzkonstante an!
(a) [mm] f(x,y)=\bruch{y}{1+x^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\in\IR^{2}
[/mm]
(b) [mm] f(x,y)=3x+y^{2} [/mm] für [mm] (x,y)\in\IR^{2}
[/mm]
(c) [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] für [mm] (x,y)\in[0,1]\times[0,1]
[/mm]
(d) [mm] f(x,y)=\bruch{y_{1}^{2}}{1+x^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\in\IR^{2}
[/mm]
(e) f(x,y)=ln(y) für [mm] y\in(0,1] [/mm] und für [mm] y\in[1,2] [/mm] |
Liebe Matheraum- Community,
1.) hinsichtlich der Aufgabenteile (a),(b),(c) und (e) hätte ich nur gerne gewusst, ob meine Ergebnisse soweit stimmen.
2.) Bezüglich der Aufgabe (d) bräuchte ich von euch eventuell einen kleinen Tipp, wie man diese Aufgabe lösen könnte.
Meine Lösungsvorschläge für die Aufgaben (a),(b),(c) und (e) lauten:
(a) [mm] |\bruch{y_{1}}{1+x^{2}}-\bruch{y_{2}}{1+x^{2}}|=|\bruch{1}{1+x^{2}}|*|y_{1}-y_{2}|\Rightarrow [/mm] L=1
(b) [mm] f_{y}(x,y)=2y
[/mm]
[mm] \max_{(x,y)ausI}|f_{y}|=\infty\Rightarrow L=\emptyset, [/mm] da [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}|2y|=\infty
[/mm]
(c) [mm] f_{y}=2y [/mm]
[mm] \max_{(x,y)ausI}|f_{y}|_{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]}=2\Rightarrow [/mm] L=2
(e) [mm] f_{y}=\bruch{1}{y} [/mm]
[mm] \max_{(x,y)ausI}|\bruch{1}{y}| [/mm] ...
... für [mm] y\in(0,1]=\infty\Rightarrow L=\emptyset, [/mm] da [mm] \limes_{y\rightarrow0}|\bruch{1}{y}|=\infty
[/mm]
... für [mm] y\in[1,2]\Rightarrow [/mm] L=1
Bei der Aufgabe (d) bräuchte ich wegen dem fehlenden Summanden [mm] y_{2} [/mm] einen kleinen Hinweis bezüglich der Herangehensweise an diese Aufgabe. Mein Ansatz lautet zunächst:
1.) Ich würde die vorgegebene Funktionsvorschrift zu Beginn um die Summanden [mm] -\bruch{y_{2}^{2}}{y_{2}^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{y_{2}^{2}}{y_{2}^{2}} [/mm] erweitern.
2.) Durch die Bildung eines gemeinsamen Nenners sowie einer Auftrennung des Betrages erhalte ich dann:
[mm] |y_{1}-y_{2}|=|\bruch{y_{1}^{2}}{1+x^{2}}-\bruch{1}{y_{1}-y_{2}}|
[/mm]
3.) An dieser Stelle bleibe ich nun stecken, bzw. ich bin mir nicht sicher, ob man überhaupt so verfahren muss. Wenn ja, würde ich versuchen im weiteren Verlauf den rechten Term als Funktionenfolge zu sehen. Vielleicht könnte man dann im Zuge einer Anwendung der Dreiecksungleichung mit dem Majorantenkriterium arbeiten. Was würdet ihr tun? Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
a) ist richtig. b),c),e) habe ich mir zwar angesehen, die schauen aber komisch aus.
zu (d): [mm] $y_1$ [/mm] macht da irgendwie keinen Sinn. Haengt das jetzt von $y$ ab, ja oder nein. Falls ja wo ist $y$. Zur Erinnerung $y$ ist reell. Falls keine y abhaengigkeit vorhanden ist, waehle $L=0$
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
(1) Ich kann dir deine Frage nicht beantworten, da ich die Aufgaben nicht selbst gestellt habe. Die Aufgabenstellung habe ich bei meiner Frage 1:1 übernommen. Möglicherweise kann man so vorgehen:
[mm] |\bruch{y_{1}^{2}}{1+x^{2}}-\bruch{0*y_{2}^{2}}{1+x^{2}}|=|\bruch{1}{1+x^{2}}|*|y_{1}^{2}|
[/mm]
Ich weiß jetzt aber auch nicht wirklich, ob das einen Sinn macht, bzw. wie man nun hieraus die Lipschitzkonstante berechnen kann. Hättest du noch eine Idee?
(2) Was genau sieht an den anderen Lösungsvorschlägen komisch aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Siehe Dir meine vorherige Antwort an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir für deine schöne Erklärung und vor allem für die Zeit, die du für mich aufgebracht hast. Sehr nett! Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Welche der folgenden Funktionen erfüllt eine
> Lipschitzbedingung in y auf dem Intervall [mm]I=[0,\infty)?[/mm]
> Geben Sie gegebenenfalls eine Lipschitzkonstante an!
>
> (a) [mm]f(x,y)=\bruch{y}{1+x^{2}}[/mm] für [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm]
>
> (b) [mm]f(x,y)=3x+y^{2}[/mm] für [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm]
>
> (c) [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm] für [mm](x,y)\in[0,1]\times[0,1][/mm]
>
> (d) [mm]f(x,y)=\bruch{y_{1}^{2}}{1+x^{2}}[/mm] für [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm]
>
> (e) f(x,y)=ln(y) für [mm]y\in(0,1][/mm] und für [mm]y\in[1,2][/mm]
> Liebe Matheraum- Community,
> Meine Lösungsvorschläge:
>
> (a)
> [mm]|\bruch{y_{1}}{1+x^{2}}-\bruch{y_{2}}{1+x^{2}}|=|\bruch{1}{1+x^{2}}|*|y_{1}-y_{2}|\Rightarrow L=1[/mm]
>
Okay, damit bin ich nach wie vor einverstanden. Damit ist $f$ lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$ für [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] I$. Streng genommen solltest Du allerdings versuchen, Deinen Beweis über die bei Euch eingeführte Definition der lokalen Lipschitzstetigkeit bzgl. $y$ zu formulieren. Schau mal bei www.wikipedia.de wie dort die lokale Lipschitzstetigkeit bzgl. $y$ definiert ist, also mit Umgebungen u.s.w. Aber das Ergebnis stimmt.
>
> (b) [mm]f_{y}(x,y)=2y[/mm]
>
> [mm]\max_{(x,y)ausI}|f_{y}|=\infty\Rightarrow L=\emptyset,[/mm] da
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}|2y|=\infty[/mm]
>
Das Ergebnis stimmt hier: $f$ ist nicht lokal Lipschitz-stetig bzgl $y$ in [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] I$. Man kann das ganze auch anders begründen: Denn da die Abbildung [mm] $y\longmapsto y^2$ [/mm] nur auf beschränkten Intervallen Lipschitz-stetig ist und $I$ ein unbeschränktes Intervall ist, kann die Funktion nicht lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$ sein. Du könntest dabei etwa wie auf der obigen wikipedia-Seite vorgehen:
[mm] $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|3x+y_1^2-3x-y_2^2|=|y_1^2-y_2^2|=|y_1+y_2|\cdot|y_1-y_2|$
[/mm]
und hierbei gilt
[mm] $|y_1+y_2|\leqslant\max_{y_1,y_2\in I=[0,\infty[}|y_1+y_2|=2\max(|0|,|\infty|)=2\infty=\infty$
[/mm]
daher nicht lokal Lipschitz-stetig bzgl $y$ für [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] I$
>
> (c) [mm]f_{y}=2y[/mm]
>
> [mm]\max_{(x,y)ausI}|f_{y}|_{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]}=2\Rightarrow[/mm]
> L=2
>
Ergebnis stimmt. Hier haben wir den Fall, dass $y$ aus einem beschränkten Intervall kommt. Dort ist (wie oben erwähnt) die Funktion [mm] $y\longmapsto y^2$ [/mm] Lipschitz-stetig. Anstatt über die Ableitung zu argumentieren (was auch richtig ist) lässt sich die Behauptung auch zeigen durch
[mm] $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|x^2+y_1^2-x^2-y_2^2|=|y_1^2-y_2^2|=|y_1+y_2|\cdot|y_1-y_2|$
[/mm]
Den ersten Term können wir diesmal abschätzen:
[mm] $|y_1+y_2|\leqslant\max_{y_1,y_2\in[0,1]}|y_1+y_2|=2\max(|0|,|1|)=2$
[/mm]
Daher ist $f$ lokal Lipschitz-stetig bzgl $y$ für [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] [0,1]$.
>
> (e) [mm]f_{y}=\bruch{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\max_{(x,y)ausI}|\bruch{1}{y}|[/mm] ...
>
> ... für [mm]y\in(0,1]=\infty\Rightarrow L=\emptyset,[/mm] da
> [mm]\limes_{y\rightarrow0}|\bruch{1}{y}|=\infty[/mm]
>
> ... für [mm]y\in[1,2]\Rightarrow[/mm] L=1
>
Die Ergebnisse dürften hoffe ich stimmen. Bei dem Ergebnis auf dem Intervall $[1,2]$ bin ich mir ziemlich sicher, dass es stimmt. Bei dem anderen kann es auch gut möglich sein.
>
> Bei der Aufgabe (d) bräuchte ich wegen dem fehlenden
> Summanden [mm]y_{2}[/mm] einen kleinen Hinweis bezüglich der
> Herangehensweise an diese Aufgabe. Mein Ansatz lautet
> zunächst:
>
Ich überspringe mal Deinen Ansatz. Du hast eine Funktion, die von $x$ und $y$ abhängt! Bei [mm] $y_1$ [/mm] handelt es sich NICHT um Deine Lipschitz-Konstante. Damit Du Dich hier nicht verwirrst, führt den Beweis der lokalen Lipschitzstetigkeit lieber mit den Variablen [mm] $\hat{y},\tilde{y}$ [/mm] anstelle von [mm] $y_1,y_2$ [/mm] durch! Ich will Dir nur klar vor Augen halten, dass [mm] $y_1$ [/mm] rein GAR NICHTS mit den Werten aus der lokalen Lipschitz-Bedingung zu tun hat. Nun gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Es handelt sich bei [mm] $y_1$ [/mm] um einen Tippfehler, d.h. anstelle von [mm] $y_1$ [/mm] sollte dort eigentlich $y$ stehen: In diesem Fall haben wir schon wieder Teil (a) und die Funktion ist lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$ für [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] I$.
2. Möglichkeit: Es handelt sich bei [mm] $y_1$ [/mm] um keinen Tippfehler. Dann beschreibt [mm] $y_1$ [/mm] irgendeine Konstante. Da die Funktion in diesem Fall $y$-unabhängig ist, folgt, dass sie lokal Lipschitz-stetig bzgl. $y$ ist für [mm] $(x,y)\in\IR\times [/mm] I$.
>
>
> Marcel
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön.
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