Lipschitzfunktion approxi. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] f_n C^1- [/mm] Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit Maximumsnorm der ersten Ableitung ist kleinergleich 1. Sei f eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf [0,1].
Wir wollen zeigen, dass f durch [mm] f_n [/mm] gleichmäßig approximiert werden können.
das was zu zeigen ist, ist äquivalent zu
Es existieren [mm] f_n [/mm] wie oben derart, dass sie gleichmäßig gegen f konvergieren. |
Ich weiß nicht wie man das beweisen soll. Ich habe lange nachgedacht.
Ich habe k.A. wie man das macht. Ich würde mich sehr sehr freuen, wenn jemand die Aufgabe sauber lösen kann. Vielen Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 29.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f_n C^1-[/mm] Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit
> Maximumsnorm der ersten Ableitung ist kleinergleich 1.
[mm] (f_n) [/mm] ist also eine gegebene Folge von [mm] C^1-[/mm] Funktionen auf [0,1] mit
[mm] $||f_n'||_{\infty} \le [/mm] 1$ für jedes n.
Ist das so gemeint ?
> Sei
> f eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf
> [0,1].
>
> Wir wollen zeigen, dass f durch [mm]f_n[/mm] gleichmäßig
> approximiert werden können.
Das wird schiefgehen !
Betrachte [mm] f_n \equiv [/mm] 0 und f(x))=x.
Wie lautet die Aufgabenstellung wirklich ?
FRED
>
> das was zu zeigen ist, ist äquivalent zu
>
> Es existieren [mm]f_n[/mm] wie oben derart, dass sie gleichmäßig
> gegen f konvergieren.
> Ich weiß nicht wie man das beweisen soll. Ich habe lange
> nachgedacht.
> Ich habe k.A. wie man das macht. Ich würde mich sehr sehr
> freuen, wenn jemand die Aufgabe sauber lösen kann. Vielen
> Vielen Dank!
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
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> > Seien [mm]f_n C^1-[/mm] Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit
> > Maximumsnorm der ersten Ableitung ist kleinergleich 1.
>
> [mm](f_n)[/mm] ist also eine gegebene Folge von [mm]C^1-[/mm] Funktionen auf
> [0,1] mit
>
> [mm]||f_n'||_{\infty} \le 1[/mm] für jedes n.
>
> Ist das so gemeint ?
Hallo Fred,
ich denke nicht, dass das "Seien ..." in diesem Fall so gemeint
ist, dass die [mm] f_n [/mm] wirklich schon konkret vorgegeben sein sollen.
In diesem Fall macht die Aufgabe wirklich keinen Sinn.
Gemeint ist bestimmt, dass man sich die benötigten Funktionen
[mm] f_n [/mm] aus dem (theoretisch vorliegenden) unendlichen Reservoir
der [mm] C^1- [/mm] Funktionen zusammensuchen darf. Richtig wäre also
wohl die Formulierung:
Sei M die Menge der [mm] C^1- [/mm] Funktionen auf [0,1] mit [mm]||f'||_{\infty} \le 1[/mm]
Ferner sei F eine Lipschitzfunktion .....
Zeige, dass F durch eine Folge [mm] _{n\in\IN} [/mm] von Funktionen aus M
gleichmäßig approximiert werden kann.
Nebenbei: die Wörter "sei" und "seien" in mathematischen Beweisen
sind für heutige Studenten wohl schon deshalb fremd, weil diese
Imperativ-Formen in der 3. Person des Verbs "sein" einfach
rein sprachlich gesehen ein Dasein wie irgendwelche Urechsen
auf einer einsamen Insel fristen.
LG Al-Chw.
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
Hallo girl_1988,
das muss wohl eine Verwechslung sein ...
Dort hat nämlich girl 1987 angefragt ... 
Schönen Nachmittag !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mo 29.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f_n C^1-[/mm] Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit
> Maximumsnorm der ersten Ableitung ist kleinergleich 1. Sei
> f eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf
> [0,1].
>
> Wir wollen zeigen, dass f durch [mm]f_n[/mm] gleichmäßig
> approximiert werden können.
>
> das was zu zeigen ist, ist äquivalent zu
>
> Es existieren [mm]f_n[/mm] wie oben derart, dass sie gleichmäßig
> gegen f konvergieren.
> Ich weiß nicht wie man das beweisen soll. Ich habe lange
> nachgedacht.
> Ich habe k.A. wie man das macht. Ich würde mich sehr sehr
> freuen, wenn jemand die Aufgabe sauber lösen kann. Vielen
> Vielen Dank!
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
Da hab ich mal reingeschaut und festgestellt, dass die Aufgabe so lautet:
Es sei f: [mm] [0,1]\to \mathbb \IR [/mm] eine Lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante 1. Zu zeigen: Es gibt eine Folge [mm] {(f_n)}_{n\in \mathbb \IN} [/mm] von Funktionen [mm] f_n \in C^1[0,1] [/mm] so dass gilt
[mm] \|f [/mm] - [mm] f_n\|_\infty \to [/mm] 0 [mm] \quad (n\to \infty)
[/mm]
[mm] \|f_n'\|_\infty \le [/mm] 1 [mm] \quad \forall \,n\in\mathbb \IN
[/mm]
FRED
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> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
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> Da hab ich mal reingeschaut und festgestellt, dass die
> Aufgabe so lautet:
>
> Es sei f: [mm][0,1]\to \mathbb \IR[/mm] eine Lipschitzstetige
> Funktion mit Lipschitzkonstante 1. Zu zeigen: Es gibt eine
> Folge [mm]{(f_n)}_{n\in \mathbb \IN}[/mm] von Funktionen [mm]f_n \in C^1[0,1][/mm]
> so dass gilt
>
> [mm]\|f[/mm] - [mm]f_n\|_\infty \to[/mm] 0 [mm]\quad (n\to \infty)[/mm]
>
> [mm]\|f_n'\|_\infty \le[/mm] 1 [mm]\quad \forall \,n\in\mathbb \IN[/mm]
>
>
> FRED
Hallo Fred,
diese Formulierung hat bei matheboard ein Moderator eingebracht ...
Er hat sich also ebenfalls erst mal überlegt, auf welche Weise die
Aufgabe Sinn machen könnte ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mo 29.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1454304#post1454304]
> >
> > Da hab ich mal reingeschaut und festgestellt, dass die
> > Aufgabe so lautet:
> >
> > Es sei f: [mm][0,1]\to \mathbb \IR[/mm] eine Lipschitzstetige
> > Funktion mit Lipschitzkonstante 1. Zu zeigen: Es gibt eine
> > Folge [mm]{(f_n)}_{n\in \mathbb \IN}[/mm] von Funktionen [mm]f_n \in C^1[0,1][/mm]
> > so dass gilt
> >
> > [mm]\|f[/mm] - [mm]f_n\|_\infty \to[/mm] 0 [mm]\quad (n\to \infty)[/mm]
> >
> > [mm]\|f_n'\|_\infty \le[/mm] 1 [mm]\quad \forall \,n\in\mathbb \IN[/mm]
> >
> >
> > FRED
>
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> Hallo Fred,
>
> diese Formulierung hat bei matheboard ein Moderator
> eingebracht ...
Hallo Al,
ja, da hab ich es her. Die Fragestellerin hat dieser Formulierung zugestimmt.
Gruß FRED
> Er hat sich also ebenfalls erst mal überlegt, auf welche
> Weise die
> Aufgabe Sinn machen könnte ...
>
> LG Al
>
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