Lipschitzstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Gibt es zu allen a < 0 < b ein [mm] L_{ab} [/mm] < [mm] \infty [/mm] mit |F(t,x) - F(t,y) [mm] \le L_{ab}|x-y| \forall [/mm] a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR?
[/mm]
a) F(t,x) = [mm] x^2
[/mm]
b) F(t,x) = [mm] \sqrt{|x|}
[/mm]
c) F(t,x) = [mm] e^{t*t}*ln(1+x^2) [/mm] |
Hoi.
Ich verstehe die Aufgabe nicht. Ich bin hier wie bei normaler Lipschitzstetigkeit rangegangen nur bei c siehts dann richtig schlecht aus u ich würd sogar meinen dass das so nicht geht
a) [mm] $|\frac{a^2 - b^2}{a-b}| [/mm] = [mm] |\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)}| [/mm] = |a+b|$
Also zu [mm] x^2 [/mm] lässt sich kein [mm] L_{ab} [/mm] finden
b) [mm] $|\frac{\sqrt{|a|}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}| [/mm] = | [mm] \frac{|a|-b}{(a-b)(\sqrt{|a|}-\sqrt{b}}| [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{|a|}-\sqrt{b}}$
[/mm]
Hier würde sich immer ein [mm] L_{ab} [/mm] finden lassen.
Bei c würde ich für x wieder a und b einsetzen und versuchen zu kürzen aber auf dem Papier hilft das erst einmal net und wollt daher wissen wie man das eigentlich macht.
Freue mich über eure Ratschläge!
Gruß
Wehm
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Hi!
Ich hab nur ne kurze Rückfrage: Heißt die Funktion bei c tatsächlich
[mm] F(t,x) = e^{t*t}*ln(1+x^2)[/mm]
oder eher
[mm] F(t,x) = e^{t*x}*ln(1+x^2)[/mm]?
Gruß
Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 22.07.2007 | | Autor: | Wehm |
> Hi!
Hoi
> Ich hab nur ne kurze Rückfrage: Heißt die Funktion bei c
> tatsächlich
> [mm]F(t,x) = e^{t*t}*ln(1+x^2)[/mm]
> oder eher
> [mm]F(t,x) = e^{t*x}*ln(1+x^2)[/mm]?
Eigentlich müsste es eher [mm] t^2 [/mm] heißen, aber das sieht so blöde aus, wenn das dann noch im Exponenten steht.
Danke für deine Beteiligung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 22.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh dein a,b einsetzen in den 2 ersten Aufgaben nicht! t kommt nicht vor, also ist das Intervall ab ohne Bedueutung und x soll ja aus ganz R sein.
Was soll denn L in der Gegend von x=0 in b) sein?
erst in c kommt t überhaupt vor, hier wird L also vom Intervall a,b abhängen, [mm] ln(1+x^2) [/mm] selbst ist ja Lipschitzstetig, du kannst ein L durch die Ableitung finden!
also nur noch [mm] e^{tt} [/mm] untersuchen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 22.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Gibt es zu allen a < 0 < b ein [mm] L_{ab} [/mm] < [mm] \infty [/mm] mit |F(t,x) - F(t,y) [mm] \le L_{ab}|x-y| \forall [/mm] a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR?
[/mm]
a) F(t,x) = [mm] x^2
[/mm]
b) F(t,x) = [mm] \sqrt{|x|}
[/mm]
c) F(t,x) = [mm] e^{t^2}*ln(1+x^2) [/mm] |
Hoi.
> Hallo
> ich versteh dein a,b einsetzen in den 2 ersten Aufgaben
> nicht! t kommt nicht vor, also ist das Intervall ab ohne
> Bedueutung und x soll ja aus ganz R sein.
Hmmm.
> Was soll denn L in der Gegend von x=0 in b) sein?
Das weiß ich auch nicht. Ich dachte, dass a und b für das Intervall [a,b] steht. Also man immer ein L für ein Intervall herausbekommt
> erst in c kommt t überhaupt vor, hier wird L also vom
> Intervall a,b abhängen, [mm]ln(1+x^2)[/mm] selbst ist ja
> Lipschitzstetig, du kannst ein L durch die Ableitung
> finden!
> also nur noch [mm]e^{tt}[/mm] untersuchen.
Moment. Ich habe ja noch nicht einmal a verstanden. Also ich soll das ableiten? Das wäre dann [mm] (x^2)' [/mm] = 2x. Und wie kann darauf auf das [mm] L_{ab} [/mm] folgern?
Gruß
Wehm
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 22.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b steht für das Intervall aus dem t ist! nicht x,y, das steht deutlich in der Aufgabe. da die beiden fkt in a) und b) nicht lipschitzstetig auf ganz R sind gibt es auch kein solches L
in c) Hängt die fkt explizit von t ab UND [mm] ln(1+x^2) [/mm] ist lipschitzstetig, eine Lipschitzkonstante ist der grösste Betrag der Steigung der Fkt. diese nenne ich L. dann ist [mm] L_{ab} [/mm] einfach [mm] L*e^{b^2}.
[/mm]
Gruss leduart
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