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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 18.05.2004 | | Autor: | Darvin |
Hallo,
Ein Fahradgeschäft verkauft Fährräder :) und Kettcars, wobei ein Fahrrad 260 DM, ein Kettcar 160 DM kosten. Im Einkauf muss der Händler 160 DM bzw 80 DM bezahlen. Der Platzbedarf je Fahrrad beträgt 1 m², je Kettcar 2 m². Der verfügbare Stellplatz beträgt insgesamt 300 m². Der Händler kann für insgesamt 24.000 DM einkaufen. Aufgrund von Lieferbedingungen können höchstens 270 Kettcars oder 135 Fahrräder oder eine entsprechende Kombination fertiggestellt werden. Welche Bestückung der Lager verspricht den höchsten Gewinn, wenn die Absatzmenge der Fahrräder erfahrungsgemäß zwischen 20 und 50 % der gesamten Absatzmenge liegt und der Gewinn möglichst hoch sein soll
also die restriktionen am anfang sind mir klar aber ich weiss nicht wie ich die 20 und 50 % in die einschränkungen mit rein bringen soll ?
für einen einstieg wäre ich sehr dankbar
gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Di 18.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Matthias,
so wie ich das sehe hast Du ja auf der x/y-Achse die Anzahl der Fahrräder/Kettcars. Die Restriktion mit den 20% und 50% bekommst Du dann dadurch hin, dass Du zwei Ungleichungen hast:
1. $x [mm] \ge [/mm] 0,2 (x+y)$
2. $x [mm] \le [/mm] 0,5 (x+y)$
Wenn Du die beiden Ungleichungen nach y auflöst, müsstest Du auf $ x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4x$ kommen, das ergibt dann Deine zusätzlichen Restriktionen.
Wenn Du willst, kannst Du die fertige Grafik auch gerne einmal hier reinstellen, der Vollständigkeit halber :))
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 20.05.2004 | | Autor: | Darvin |
Hallo Oliver,
die restriktionen mit der der grundfläche und dem zur verfügung stehenden kapital für den einkauf der räder ... das überschneidet sich ja und meine versuche kommen nie zu dem eigentlichen ergebnis...
ich hatte mir das so gedacht !
260x + 160y = zmax
160x + 80y [mm] \le [/mm] 24000
x + 2y [mm] \le [/mm] 300
1/135x + 1/270y [mm] \le [/mm] 1
und halt die restriktionen die du bereits erstellt hast, klappt trotzdem nicht :(
gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 20.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Darvin
> Hallo Oliver,
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> 260x + 160y = zmax
Diese Gleichung verstehe ich (in meiner unendlichen Beschränktheit) nicht!
Ich denke, der Gewinn pro Fahrrad ist 100 DM, und jener pro Kettcar 80 DM.
Dann komme ich auf: [mm]100x + 80y[/mm] maximal
> 160x + 80y [mm] \le [/mm] 24000
> x + 2y [mm] \le [/mm] 300
> 1/135x + 1/270y [mm] \le [/mm] 1
Auch das verstehe ich nicht ganz. Evtl habe ich die Aufgabe nicht richtig verstanden ("oder eine Kombination davon")
Ich dachte mir, hier sollten sich 2 Ungleichungen ergeben:
[mm]x \leq 135[/mm]
[mm]y \leq 270[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Darvin |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabe aber auch nicht ganz so wie es vielleicht sein sollte :)
nur soviel: es müssen sich auf jeden fall mehr als diese zwei ungleichungen für eine grafische optimierung zur verfügung stehen.
Mit der zmax funktion berechnet man sozusagen einen schnittpunkt der die optimale menge der fahrräder und der kettcars wiedergibt.
gruss
(ps: wäre immer noch dankbar für einen lösungsansatz... )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Darvin
also, ich versuchs mal.
Für die Fahrräder benutze ich die x-Achse auf, für die Kettcars die y-Achse, und den Gewinn denke ich in Richtung der z-Achse (darum wohl auch deine Bezeichnung zmax?)
Die Aufgabe beinhaltet übrigens noch 2 weitere Bedingungen: [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]y \ge 0[/mm]
Im Gegensatz zu dir interpretiere ich dabei die Bedingung mit dem Einkaufspreis so: der Einkäufer höchstens 24000 DM ausgeben.
Das Vorgehen ist doch so, dass zunächst (1. Teil) in der x-y-Ebene die den Ungleichungen genügenden Bereiche eingezeichnet werden.
Wenn dann der Bereich, der alle Bedingungen erfüllt, eruiert ist, kommt dann noch das zmax-Problem zum Einsatz (2. Teil): die Frage, wo ist z maximal, eingeschränkt auf unseren x-y-Bereich, muss noch beantwortet werden.
Also zum 1. Teil
(Hast du die x-y-Achsen schon gezeichnet? Die Skala sollte so gewählt werden, dass x etwa bis 350 reicht, y ebenso)
I) Bedingung für den Einkaufsreis:
[mm]160x+80y \le 24000[/mm]
oder gekürzt:
[mm]2x+y \le 300[/mm]
oder nach y aufgelöst:
[mm]y \le 300-2x[/mm]
Diesen Bereich kannst du jetzt auf deiner Zeichnung schraffieren.
(Das rechtwinklige Dreieck zwische x-Achse, y-Achse und der Geraden mit der Gleichung [mm]y = 300-2x[/mm]
II) Platzbedarf
[mm]x+2y \le 300[/mm]
nach y aufgelöst:
[mm]y \le 150-\bruch{x}{2}[/mm]
Auch dafür kannst du den Bereich schraffieren. (Das rechtwinklige Dreieck zwische x-Achse, y-Achse und der Geraden mit der Gleichung [mm]y = 150-\bruch{x}{2}[/mm]
III) Lieferbedingungen
a) [mm]y \le 270[/mm]
(Bedeutet keine zusätzliche Einschränkung mehr)
a) [mm]x \le 135[/mm]
(Bedeutet keine zusätzliche Einschränkung mehr)
IV) Verkaufserfahrung
a) [mm]x \ge \bruch{x+y}{5}[/mm]
nach y aufgelöst:
[mm]y \le 4x[/mm]
Auch dafür kannst du jetze den Bereich auf der x-y-Ebene schraffieren.
b) [mm]x \le \bruch{x+y}{s}[/mm]
nach y aufgelöst:
[mm]y \ge x[/mm]
Auch dafür kannst du jetze den Bereich auf der x-y-Ebene schraffieren.
So, der 1. Teil ist fertig.
Der Bereich, der allen Einschränkungen genügt, ist nach meiner Zeichnung ein Dreieck mit den Ecken $(0,0)$, $(100,100)$ und $(300/7,1200/7)$
Und wie wird der 2. Teil gelöst?
Nun, die Gleichung für den Gewinn ist:
[mm]100x + 80y[/mm], und dies soll maximal werden!
Da wir den Gewinn in z-Richtung denken, ergibt sich für den Gewinn die folgende Gleichung:
[mm]z = 100x + 80y[/mm]
Dies ist eine Ebenengleichung.
Für die Lösung unsere Aufgabe ist es sinnvoll zu überlegen, wo denn der Gewinn einen konstanten Wert hat (Niveaulinien).
Wo ist der Gewinn $0$?
[mm]100x + 80y=0[/mm]
oder nach y Aufgelöst:
[mm]y = -\bruch{5}{4}x[/mm]
Kannst du diese Gerade mal in deiner x-y-Ebene einzeichnen?
Wo ist der Gewinn $800$?
[mm]100x + 80y=800[/mm]
oder nach y Aufgelöst:
[mm]y = 10-\bruch{5}{4}x[/mm]
Kannst du diese Gerade mal in deiner x-y-Ebene einzeichnen?
Wo ist der Gewinn $1600$?
[mm]100x + 80y=1600[/mm]
oder nach y Aufgelöst:
[mm]y = 20-\bruch{5}{4}x[/mm]
Kannst du diese Gerade mal in deiner x-y-Ebene einzeichnen?
Du siehst: da verschiebt sich mit steigendem Gewinn eine Gerade parallel nach rechts. Jetzt musst du diese Gerade eben möglichst weit schieben, dass sie mit unserem eruierten Dreieck aber noch mindesten einen gemeinsamen Punkt hat. Ich denke, wenn die Gerade durch $(100,100)$ geht, ist das Maximum erreicht. Somit sollte der Einkäufer 100 Fahrräder und 100 Kettcars einkaufen. 
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