Lösbarkeit des GS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Salo |
| Aufgabe | Sei t [mm] \in \IR,
[/mm]
A = [mm] \pmat{1&8&1&4-t \\ -1&-4&0&-4+t\\-2&-8&8&-8+2t\\-2&-4&15&2-3t}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{3\\-4\\0\\7}
[/mm]
Für welche t ist das lineare Gleichungssystem
A [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}
[/mm]
lösbar? Geben Sie alle Lösungen an! |
So also ich hab jetzt erst mal Gauss angewendet und komme zu folgender erweiterten Matrix:
[mm] \pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&0&4&0&|8\\0&0&0&10-5t&|-16}
[/mm]
für t=2 ist der Rang(A) < Rang(Ab) --> nicht lösbar
für alle t [mm] \not= [/mm] 2 [mm] \in \IR [/mm] :
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \bruch{-16}{10-5t}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 2
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 3 - [mm] \bruch{-84+16t}{10-5t} [/mm] = [mm] \bruch{-54-t}{10-5t}
[/mm]
Da Ergebnis kommt mir aber irgendwie unschön vor..
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
Gruß Salo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Salo,
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\bruch{-16}{10-5t}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = 2
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 3 - [mm]\bruch{-84+16t}{10-5t}[/mm] = [mm]\bruch{-54-t}{10-5t}[/mm]
>
> Da Ergebnis kommt mir aber irgendwie unschön vor..
Was mir zunächst auffällt, ist, dass in der ursprünglichen Matrix in der ersten Zeile eine 1 hast, beim Gauß aber plötzlich eine -1 dort steht.
Also: Den Gauß rechne ich daher mal nicht nach!
Aber Dein [mm] x_{1} [/mm] ist auf jeden Fall falsch: 4*16=64, nicht 84 und auch die 3 hast Du scheint's falsch in den Bruchterm eingerechnet.
Also überprüf' das erst mal!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Salo |
Danke erstma für die Antwort!
Ahh ok.. meine Kopfrechenkünste wieder...
das muss -1 in der ersten Zeile, 3ten Spalte bei der Angabe heißen.
neues [mm] x_{1} [/mm] = 3 + [mm] \bruch{64+16t}{10-5t} [/mm] = [mm] \bruch{94+t}{5*(2-t)}
[/mm]
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Hi, Salo,
> Ahh ok.. meine Kopfrechenkünste wieder...
> das muss -1 in der ersten Zeile, 3ten Spalte bei der
> Angabe heißen.
> neues [mm]x_{1}[/mm] = 3 + [mm]\bruch{64+16t}{10-5t}[/mm] =
> [mm]\bruch{94+t}{5*(2-t)}[/mm]
Es muss heißen: 3 + [mm]\bruch{16t - 64}{10-5t}[/mm] = ...
Aber ich glaube, wir setzen an der falschen Stelle an!
Ich vermute eher, dass Du Dich bereits bereits im Gauß-Verfahren vertan hast!
Gib' doch mal Deine Zwischenschritte an, damit ich nachrechnen kann!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Salo |
mmh ok ich geb ma meine schritte der reihe nach an:
2te Zeile: + I, 3te Zeile: + (2*I), 4te Zeile: +(2*I)
dann komm ich zu
[mm] \pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&8&6&0&|6\\0&12&13&10-5t&|13} [/mm]
3te Zeile: -(2*II), 4te Zeile: -(3*II)
dann komm ich zu
[mm] \pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&0&4&0&|8\\0&0&16&10-5t&|16} [/mm]
4te Zeile: -(4*III)
dann komm ich zu
[mm] \pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&0&4&0&|8\\0&0&0&10-5t&|-16}
[/mm]
So hab ich mir das gedacht
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Hi, Salo,
ok, dann los:
> mmh ok ich geb ma meine schritte der reihe nach an:
> 2te Zeile: + I, 3te Zeile: + (2*I), 4te Zeile: +(2*I)
> dann komm ich zu
>
> [mm]\pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&8&6&0&|6\\0&12&13&10-5t&|13}[/mm]
Bis dahin: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3te Zeile: -(2*II), 4te Zeile: -(3*II)
> dann komm ich zu
>
> [mm]\pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&0&4&0&|8\\0&0&16&10-5t&|16}[/mm]
Da steckt ein Fehler drin: In der 3. Zeile muss es statt der 4 eine 8 sein!
Also: Auf ein Neues!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 13.03.2008 | | Autor: | Salo |
So jetzt hab ich erst ma ne Nacht drüber geschlafen, in der Hoffnung heut bissl konzentrierter zu sein.. Puh
ok ich hab jetz ne neue Matrix und die schaut so aus:
[mm] \pmat{1&8&-1&4-t&|3\\0&4&-1&0&|-1\\0&0&1&0&|1\\0&0&0&10-5t&|0}
[/mm]
Daraus ergeben sich für t=2 unendlich viele Lösungen.
Ich setze [mm] x_{4} [/mm] = v.
Dann habe ich folgende weitere x-Werte
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 1-2v
Falls t [mm] \not= [/mm] 2 :
[mm] x_{4} [/mm] = 0
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 4
Bitte sag mir jetzt jemand, dass das richtig ist :D
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:03 Do 13.03.2008 | | Autor: | Salo |
Danke für die Antwort!
JUHU.. Fast richtig.. Naja zumindest etwas.. Hat jemand ein paar Übungen für mich die mir die Leichtsinnsfehler austreiben?
Lg
Salo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 13.03.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Salo,
schau Dich halt im Forum um:
Da sind eine Menge Beispiele (mit Lösungen)
bereits besprochen worden!
mfG!
Zwerglein
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