Lösbarkeit eines LGS < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Di 07.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen a, b, c ist das lineare Gleichungssystem
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] = a
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 6x_{2} [/mm] = b
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 7x_{2} [/mm] = c
lösbar? Im Falle der Lösbarkeit gebe man alle Lösungen explizit an! |
Hallo zusammen!
Irgendwie drehe ich mich hier nur im Kreis und behaupte langsam, dass dieses LGS nicht lösbar ist! Irre ich mich hiermit?
Zudem will ich mal ein großes Lob loswerden! Einem wird hier immer geholfen, und dass auch immer sehr freundlich :) !
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du die ersten beiden Gleichungen nach [mm] x_1 [/mm] auflöst, erhälst Du
[mm] x_2 [/mm] = b-a und daraus [mm] x_1 [/mm] = 6a-5b
Setze dies in die 3. Gleichung ein , dann erhälst Du die Bedingung
a-2b+c=0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Di 07.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Daraus resultiert ja dann:
a= 2b-c
b= [mm] \bruch{a}{2} [/mm] + [mm] \bruch{c}{2}
[/mm]
c= -a+2b
Nur wie gebe ich nun alle Lösungen explizit an, da ja nach den reellen Zahlen gefragt wurde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Daraus resultiert ja dann:
>
> a= 2b-c
> b= [mm]\bruch{a}{2}[/mm] + [mm]\bruch{c}{2}[/mm]
> c= -a+2b
Richtig... wobei die Bedingung $a-2b+c=0$ sicher völlig ausreichend ist.
> Nur wie gebe ich nun alle Lösungen explizit an, da ja nach
> den reellen Zahlen gefragt wurde?
Das hat Fred dir doch schon geschrieben, [mm] $x_1=6a-5b$ [/mm] und [mm] $x_2=b-a$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Daraus resultiert ja dann:
>
> a= 2b-c
> b= [mm]\bruch{a}{2}[/mm] + [mm]\bruch{c}{2}[/mm]
> c= -a+2b
>
> Nur wie gebe ich nun alle Lösungen explizit an, da ja nach
> den reellen Zahlen gefragt wurde?
Wenn Du mit "Lösungen" die gesuchten Zahlen a, b, c meinst , so würde ich schreiben:
Das gleichungssystem hat eine Lösung [mm] \gdw
[/mm]
(a,b,c) [mm] \in [/mm] { [mm] (x,y,z)\in \IR^3: [/mm] x-2y+z = 0 }.
In diesem Fall ist die Lösung [mm] (x_1,x_2) [/mm] des Gleichungssystems eindeutig bestimmt: [mm] x_1 [/mm] = 6a-5b, [mm] x_2 [/mm] = b-a
Nebenbei: die Menge { [mm] (x,y,z)\in \IR^3: [/mm] x-2y+z = 0 } ist eine Ebene im [mm] \IR^3
[/mm]
FRED
Anschaulich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Di 07.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das mal versuchen, anders anzugehen.
[mm] \vmat{x_{1}+5x_{2}=a\\x_{1}+6x_{2}=b\\x_{1}+7x_{2}=c}
[/mm]
[mm] \stackrel{GL1-GL2;GL1-GL3}{\gdw}\vmat{x_{1}+5x_{2}=a\\-x_{2}=a-b\\-2x_{2}=a-c}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{x_{1}+5x_{2}=a\\x_{2}=-(a-b)\\-x_{2}=\bruch{a-c}{2}}
[/mm]
[mm] \stackrel{GL2+GL3}{\gdw}\vmat{x_{1}+5x_{2}=a\\x_{2}=-(a-b)\\0=\bruch{a-c}{2}-(a-b)}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{a-c}{2}-(a-b)=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{a-c}{2}-a+b=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{a-c-2a+2b}{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -a+2b-c=0
Du kommst also auf dieselbe Lösung von Fred.
Also ist dieses GLS lösbar, wenn gilt a-2b+c=0
(Natürlich gibt es eine ganze menge Zahlen, für die das gilt, aber es ist eben nur für diesen Sonderfall lösbar)
Marius
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