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Forum "Operations Research" - Lösbarkeit lin. Problems
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Lösbarkeit lin. Problems: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Sa 16.04.2016
Autor: lisa2802

Aufgabe
Betrachten Sie
max { [mm] c^T [/mm] x : Ax=b} mit A [mm] \in \IR^{mxn}. [/mm]
Was kann man allgemein über die Lösbarkeit obigen Problems aussagen?

hallöchen,
wir hatten letzte Woche unsere 1. Optimierungsvorlesung und sollen u.a. diese Aufgabe lösen. Allerdings steht im Skript dazu bisher nichts.bekommen es eigentlich nur Kapitelweise, habe es aber aus vorheirgen Semstern schon vollständig, daher weiß ich folgendes :
1. unzulässig(widerspruch innerhalb des LP) -> keine lösung
2. unbeschränkt (-> unendlich viele
3. mindestens ein Optimalpunkt (zb beschränkt und nichtleer)

gehe ich jetzt erstmal nur von dem LGS aus, könnte ich ja über den Rang von A was über die lösbarkeit sagen.


Weiß einfach nicht wie ich diese Aufgabe so bearbeiten soll =/
Hat einer von euch eventuell eine Idee und könnte mir helfen auf den richtigen Weg zu kommen?

Vielen Dank schon mal !

        
Bezug
Lösbarkeit lin. Problems: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 17.04.2016
Autor: lisa2802

Betrachte ich jetzt mal Beispielhaft A [mm] \in \IR [/mm] ^{3x2}, dann is b [mm] \in \IR^3, x\in \IR^2 [/mm] und [mm] c\in \IR^2 [/mm]

also
c = [mm] \vektor{c_{1} \\ c_{2}} [/mm]
x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm]
b= [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}} [/mm]
A= [mm] \pmat{ a & b\\ c & d \\ e & f} [/mm]

max { [mm] c_{1}*x_{1} [/mm] +  [mm] c_{2}*x_{2} [/mm] :
[mm] a*x_{1} [/mm] +  [mm] b*x_{2} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]
[mm] c*x_{1} [/mm] +  [mm] d*x_{2} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm]
[mm] e*x_{1} [/mm] +  [mm] f*x_{2} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] }

so die Aussage ist ja eigentlich bzw das Gesuchte :
zulässiges x finden, das alle Gleichungen erfüllt, so dass [mm] c^{T}x [/mm] maximal

Die Frage ist ja was kann man allgemein über die Lösbarkeit solch eines Problems sagen ( natürlich dann bezogen auf A [mm] \in \IR^{mxn} [/mm] )

>  1. unzulässig(widerspruch innerhalb des LP) -> keine

> lösung
>  2. unbeschränkt (-> unendlich viele

>  3. mindestens ein Optimalpunkt (zb beschränkt und
> nichtleer)


wie könnte ich das jetzt darauf anwenden?


Bezug
                
Bezug
Lösbarkeit lin. Problems: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mo 18.04.2016
Autor: Jule2

Hi Lisa!
Würde mich Fred anschließen mit der kleinen Ergänzung das jedes lineare Problem
entweder nicht Lösbar ist wobei man hier unterscheidet zwischen
1. es existiert keine Lösung für A*x=b und somit ist das zugehörige Polyder leer

2. es existieren zwar Lösungen für A*x=b diese sind aber in mindestens einer Variable [mm] x_{i} [/mm] unbeschränkt und das dazugehörige [mm] c_{i}\not=0 [/mm] und somit ist das dazugehörige Polyeder in mindestens eine  Richtung offen

oder es existiert mindestens eine Lösung für das Maximierungsproblem

Bezug
        
Bezug
Lösbarkeit lin. Problems: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Mo 18.04.2016
Autor: fred97

Meine Antwort auf die Frage

   "Was kann man allgemein über die Lösbarkeit obigen Problems aussagen ?"

lautet:

   "manchmal ist das Problem lösbar, manchmal aber auch nicht."

Beispiele:

1. es sei m=n=2, [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] b=c=\vektor{1 \\ 0}. [/mm]

Rechne nach:

     [mm] \{ c^T x : x \in \IR^2, Ax=b\}=\IR. [/mm]

Das bedeutet: [mm] \max \{ c^T x : x \in \IR^2, Ax=b\} [/mm] existiert nicht.

2. es sei m=n=2, [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] b=c=\vektor{1 \\ 0} [/mm]

Rechne nach:

     [mm] \{ c^T x : x \in \IR^2, Ax=b\}=\{1\} [/mm]

Das bedeutet: [mm] \max \{ c^T x : x \in \IR^2, Ax=b\} [/mm] =1.

FRED

Bezug
        
Bezug
Lösbarkeit lin. Problems: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 Mo 18.04.2016
Autor: lisa2802

Danke. Manchmal macht man sich das Leben schwerer als es ist ...

Bezug
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