Lösbarkeit m=n / m>n / m<n < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Do 26.11.2009 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Betrachten Sie ein lineares Gleichungssystem $Ax = b$ mit einer reellen $m [mm] \times [/mm] n-Matrix$ , $A , b [mm] \in \IR^m.$ [/mm]
Prüfen Sie folgende Aussagen auf ihre allgemeine Richtigkeit
(Beweis oder Gegenbeispiel):
1. Im Fall $m = n$ ist das System lösbar.
2. Im Fall $m < n$ hat das System entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
3. Im Fall $m > n$ hat das System höchstens eine Lösung. |
Fall 1: $m=n$, System lösbar.
Hier habe ich an 2 Beispielen gezeigt, dass es nicht lösbarist oder genau eine Lösung hat, also gilt $Rang(A) [mm] \le [/mm] Rang(A|b)$ .
Fall 2: $m<n$, keine oder unendlich viele Lösungen.
Hier bekam ich bei allen Beispielen eine Lösung in Abhängigkeit einer anderen Variable. Macht ja auch Sinn, bei weniger Zeilen als Spalten. Habe also unendlich viele Lösungen. Ist das richtig oder gibt es irgend ein Beispiel für das es keine Lsg gibt?
Fall 3: $m>n$, höchstens eine Lösung.
Auch diese Aussage habe ich zum Widerspruch geführt: In dem Fall bekam ich in meinen Beispielen entweder keine, oder unendlich viele Lösungen.
Bitte um Korrektur falls ich mich irgendwo vertan haben sollte.
Dankeschön!
Gruß!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:11 Do 26.11.2009 | | Autor: | Andariella |
Also ich klinke mich hier einfach mal ein:
Ich hab bisher die gleichen Ideen und überlege jetzt, wie ich die Aussage zu 2. beweisen kann. (Ich kann allerdings nicht 100 % sagen, dass es auch richtig ist, daher hab ich die vorige Frage mal offen gelassen.)
Dazu noch eine Frage:
Könnte man die 2. ggf irgendwie so beweisen, dass man einen Widerspruchsbeweis macht, also Annahme, dass es eindeutig lösbar ist und dann zum Widerspruch führen und noch sagen, dass ja dann nur die beiden anderen Möglichkeiten offen bleiben? Aber eigentlich ist es nicht wirklich die Negation der Aussage oder?
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also leider weiß ich immer noch nicht genau, wie ich da an den beweis rangehen soll, (siehe meine frage oben) hat jemand vllt nochmal einen tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
meinst du Fall 2 m<n
ich hatte ja gesagt, es gibt auch die Möglichkeit von keiner Lösung wenn RangA<RangA|b
sonst einfach, falls RangA=RangA|b unendlich viele Lösungen weil man bei n Unbekanntn und nurm<n Gleichungen immer mindestens eine Variable frei wählen kann.
auch bei 3 gibt es alle Möglichkeiten, 1 Lösung aus einer m=n zeiligen matrix, die anderen Zeilen z. Bsp alle wieder die mte
Also hast du alle Möglichkeiten, die du auch bei [mm] m\times [/mm] m hast. du kannst immer mit RangA, Rang A|b argumentieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Do 26.11.2009 | | Autor: | Andariella |
ah ok, ich dachte, so etwas würde nicht reichen als beweis, supi! danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 2
x+y+z=1
x+y+z=2
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 26.11.2009 | | Autor: | Andariella |
(ups verlesen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Do 26.11.2009 | | Autor: | chesn |
Auf sowas stumpfes kommt man natürlich wieder nicht von allein... :D
danke leduart!
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