Lösen arithmetischer Folgen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Guli |
Hi Leute! Ich hab da ein problem mit meiner mathe hausaufgabe!
Es geht um arithmetische Folgen.
Die Aufgabenstellung lautet so:
Die Längen der Kanten eines Quaders bilden eine arithmetische Folge. Die oberfläche des Quaders beträgt [mm] 276cm^2.
[/mm]
Wie groß ist das Volumen?
Ich bräuchte es dringend. Ich hoffe, dass mir jem. weiterhelfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Guli,
> Die Längen der Kanten eines Quaders bilden eine
> arithmetische Folge. Die oberfläche des Quaders beträgt
> [mm]276cm^2.[/mm]
> Wie groß ist das Volumen?
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du eine Definition für eine solche Reihe. Und Formeln für einen Quader findest Du z.B. hier. Damit ergeben sich für unseren Quader folgende Bedingungen:
[mm] $\left(1\right)\quad [/mm] a = a, b = a+d, c = a+2d$
[mm] $\left(2\right)\quad [/mm] 276 = [mm] 2\left(ab+ac+bc\right) \gdw [/mm] ab+ac+bc = 138$
Jetzt können wir aus (1) Werte in (2) einsetzen:
[m]ab+ac+bc = a\left(a+d\right) + a\left(a+2d\right) +\left(a+d\right)\left(a+2d\right) = 3a^2 + 6ad + 2d^2 = 138 \gdw a^2 + 2ad + \frac{2d^2}{3} - 46 = 0[/m]
Leider bin ich mir nicht sicher, wie man hier das [mm] $d\!$ [/mm] rauskriegen soll, da wir ja nur eine Gleichung aber zwei Unbekannte haben. Und mehr Informationen sind in der Aufgabe nicht gegeben, oder übersehe ich da etwas? Jedenfalls ist dies eine quadratische Gleichung, so daß wir [mm] $a\!$ [/mm] mit der p/q-Formel rauskriegen können:
[m]a_{\text{1; 2}} = -\frac{2d}{2} \pm \wurzel{\left(\frac{2d}{2}\right)^2 - \frac{2d^2}{3} + 46} \Rightarrow a_1 = \frac{\wurzel{3}*\left(\wurzel{d^2 + 138} - \wurzel{3}d\right)}{3}[/m]
Damit gilt für das Volumen des Quaders:
[m]V = abc = a\left(a+d\right)\left(a+2d\right) = \frac{2\wurzel{3}(69 - d^2)\wurzel{d^2 + 138}}{9}[/m]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 12.05.2005 | | Autor: | Guli |
Hallo Karl,
Vielen vielen dank für deine Hilfe, aber a ist noch eine kleinigkeit. also d=3.
Ich habe d in "deine" Formel eingesetzt.
Der lehrer hat uns ein bisschen was verraten. er hat gesagt dass die seiten des quaders ganzzahlig sind, aber ich bekomme keine ganzzahlige lösung heraus, obwohl ich es ein paar mal gerechnet habe!
Ich wollte dich nur fragen ob du dir sich bist, das es so stimmt wie du es mir "gezeigt" hast.
Nochmals vielen Dank
Gruß
Güli
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Hallo Guli,
> Vielen vielen dank für deine Hilfe, aber a ist noch eine
> kleinigkeit. also d=3.
> Ich habe d in "deine" Formel eingesetzt.
>
> Der lehrer hat uns ein bisschen was verraten. er hat gesagt
> dass die seiten des quaders ganzzahlig sind, aber ich
> bekomme keine ganzzahlige lösung heraus, obwohl ich es ein
> paar mal gerechnet habe!
>
> Ich wollte dich nur fragen ob du dir sich bist, das es so
> stimmt wie du es mir "gezeigt" hast.
Wenn ich $d = [mm] 3\!$ [/mm] in meine Formel einsetze, erhalte ich 280 für das Volumen und $a = [mm] 4\!$. [/mm] Und damit $b = 4+3 = [mm] 7\!$ [/mm] (stimmt mit Pauls Lösung überein, bei ihm ist das wohl [mm] $a\!$) [/mm] und $c = [mm] 4+2\cdot{}3 [/mm] = 10$. Vielleicht hast Du dich irgendwo verrechnet?
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Guli |
Hallo Karl,
Ich weiß nicht wo ich mich verrechnet habe! :(
Ich habe es schon oft genaug probiert, ich weiß nicht wo ich mich andauernd verrechne. Die zahl unter der wurzel zum schluss ist bei mir 4 und ich glaub das stimmt he, aber vor der wurzel ist die zahl sicherlich falsch
wäre nett wenn ich den ganzen rechenvorgang von dir bekommen könnte, aber ich will dir keine umstände machen
nur falls du zeit hast, wenn nicht, kann man na nix machen ;)
baba
Güli
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Hallo Guli,
> Ich weiß nicht wo ich mich verrechnet habe! :(
> Ich habe es schon oft genug probiert, ich weiß nicht wo
> ich mich andauernd verrechne.
Wir hatten folgende Formel für [mm] $a\!$:[/mm] [m]a = \tfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {d^2 + 138} - \sqrt 3 d} \right)}}{3}[/m]. Jetzt setzen wir $d = [mm] 3\!$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
a = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {3^2 + 138} - \sqrt 3 *3} \right)}}
{3} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {9 + 138} - 3\sqrt 3 } \right)}}
{3} = \frac{{\left( {\sqrt {9 + 138} - 3\sqrt 3 } \right)}}
{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {9 + 138} }}
{{\sqrt 3 }} - \frac{{3\sqrt 3 }}
{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{9 + 138}}
{3}} - 3 \hfill \\
= \sqrt {3 + \frac{{138}}
{3}} - 3 = \sqrt {3 + 46} - 3 = \sqrt {49} - 3 = 7 - 3 = 4 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und für das Volumen nehmen wir die andere Formel, die wir hergeleitet haben:
[m]V_{{\texttt{Quader}}} = \frac{{2\sqrt 3 \left( {69 - d^2 } \right)\sqrt {d^2 + 138} }}{9}[/m]
Für $d = [mm] 3\!$ [/mm] gilt:
[m]V_{{\texttt{Quader}}} = \frac{{2\sqrt 3 \left( {69 - 3^2 } \right)\sqrt {3^2 + 138} }}
{9} = \frac{{2\sqrt 3 \left( {69 - 9} \right)\sqrt {9 + 138} }}
{{3\sqrt 3 \sqrt 3 }}[/m]
[m]= \frac{{2*60\sqrt {9 + 138} }}
{{3\sqrt 3 }} = \frac{{120\sqrt {9 + 138} }}
{{3\sqrt 3 }} = \frac{{40\sqrt {9 + 120 + 18} }}
{{\sqrt 3 }} = 40\sqrt {\frac{{9 + 120 + 18}}
{3}} = 40\sqrt {3 + 40 + 6} = 40*7 = 280[/m]
und nochmal um ganz sicher zu gehen:
[m]V_{{\texttt{Quader}}} = 4\left( {4 + 3} \right)\left( {4 + 2*3} \right) = 4*7*10 = 280[/m]
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Guli!
Na, dann werde ich es Dir mal zeigen ...
Karl Pech's Formel:
[mm]V \ = \ \frac{2*\wurzel{3}*\left(69 - d^2\right)*\wurzel{d^2 + 138}}{9}[/mm]
Zunächst einmal werde ich [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] mit der großen Wurzel zusammenfassen:
[mm] $\wurzel{3} [/mm] * [mm] \wurzel{d^2 + 138} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3*\left(d^2 + 138\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3d^2 + 414}$
[/mm]
Damit wird unsere Volumenformel zu:
[mm]V \ = \ \frac{2*(69 - d^2)*\wurzel{3d^2 + 414}}{9}[/mm]
Nun den Zahlwert $d \ = \ 3$ einsetzen:
[mm]V \ = \ \frac{2*(69 - 3^2)*\wurzel{3*3^2 + 414}}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ \frac{2*(69 - 9)*\wurzel{3*9 + 414}}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ \frac{2*60*\wurzel{27 + 414}}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ \frac{120*\wurzel{441}}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ \frac{120*21}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ \frac{2520}{9}[/mm]
[mm]V \ = \ 280[/mm]
Nun klar?
Hast Du Dir denn den Lösungsweg von Paul auch mal angesehen und verstanden? Der ist meiner Meinung nach etwas weniger kompliziert und mit weniger komplizierter Rechnung verbunden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Guli
ich glaube, du hast uns die Aufgabe nicht ganz wiedergegeben. Hiess es nicht auch noch, dass die Kantenlängen ganzzahlig sein sollen?
Dann kannst du nämlich so vorgehen.
Die mittlere Kantenlänge sei $x_$
Dann ist die kürzere $x-d_$, und die längere $x+d$
Somit bekommst du dieses hier (siehe dazu auch die zuerst gegebene Antwort:
$a(a+d)+(a(a-d)+(a+d)(a-d)=138_$
Ausgerechnet und zusammengefasst:
[mm] $3a^2-d^2=138$
[/mm]
Mit dem Wissen, dass d kleiner als a sein muss (sonst wäre ja die kürzeste Kante negativ) kannst du eine kleine Tabelle machen, indem du einfach für d die Werte 1,2,3 usw einsetzt. (Streng genommen müsste man auch noch d=0 nehmen)
Damit erhältst du:
$d=1 [mm] \Rightarrow 3a^2=139$ [/mm] geht nicht auf
$d=2 [mm] \Rightarrow 3a^2=142$ [/mm] geht nicht auf
$d=3 [mm] \Rightarrow 3a^2=147 \Rightarrow a^2=49 \Rightarrow [/mm] a=7$
$d=4 [mm] \Rightarrow 3a^2=154$ [/mm] geht nicht auf
$d=5 [mm] \Rightarrow 3a^2=163$ [/mm] geht nicht auf
$d=6 [mm] \Rightarrow 3a^2=174 \Rightarrow a^2=58$ [/mm] geht nicht auf
$d=7 [mm] \Rightarrow 3a^2=187$ [/mm] geht nicht auf
$d=8 [mm] \Rightarrow 3a^2=202$ [/mm] geht nicht auf
$d=9 [mm] \Rightarrow 3a^2=219 \Rightarrow a^2=73$ [/mm] geht nicht auf, aber man erkennt, dass jetzt d grösser als a ist, womit wir aufhören können.
Aus der einzigen Zeile, wo es aufgegangen ist, kannst du noch die fehlenden Seiten (a-d) und (a+d) berechnen, womit sich auch, nach meiner Erfahrung jedenfalls, das Volumen berechnen lassen sollte. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Paul!
Zu Deinem Lösungsansatz gibt es noch eine klitzekleine Arbeitserleichterung:
[mm] $3a^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm] \ = \ 138$ [mm] $\gdw$ $a^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d^2}{3} [/mm] + 46$
Damit [mm] $a^2$ [/mm] (und damit auch a) ganzahlig ist, muß [mm] $d^2$ [/mm] ein Vielfaches von 3 sein.
Und da auch $d$ ganzzahlig sein soll, brauche ich für $d$ ebenfalls nur Vielfache von 3 einsetzen:
$d \ = \ 0; \ 3; \ 6; \ 9; \ ...$
Damit kann ich mir die Probier-Arbeit ja um 2/3 verkürzen.
Als einzig sinnvolle Lösung verbleibt natürlich nur $d \ = \ 3$ mit [mm] $a_2 [/mm] \ = \ 7$.
Grüße
Loddar
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