matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenLösen der Gleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Lösen der Gleichung
Lösen der Gleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösen der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 So 09.06.2013
Autor: sMaus

Aufgabe
Es sei [mm] A=\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 7 & 3 & 4 & 7 & 10 & 2 }. [/mm] Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:= {x Element aus [mm] R^6 [/mm] | A x = [mm] \vec0} [/mm] und lösen Sie das homogene Gleichungssystem A x = [mm] \vec0. [/mm]

Für die Dimension erhalte ich 4. Ist es richtig, wenn ich behaupte: x= (1, -1,3 -2, 0, -1)? Dabei setze ich einfach beliebig x1= 1 x2=-1 x3= 3 und x4= -2 und erhalte am Ende für x5= 0 und x6= -1... Darf man das denn?

        
Bezug
Lösen der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 So 09.06.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Es sei

[mm] A=\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 7 & 3 & 4 & 7 & 10 & 2 } [/mm]

> Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes ...
> Für die Dimension erhalte ich 4.

Das ist aber nicht richtig, rechne nochmal nach.

> Ist es richtig, wenn ich
> behaupte: x= (1, -1,3 -2, 0, -1)? Dabei setze ich einfach
> beliebig x1= 1 x2=-1 x3= 3 und x4= -2 und erhalte am Ende
> für x5= 0 und x6= -1... Darf man das denn?

Nein, das darf man nicht. Die Lösungsmenge ist in Abhängigkeit von Parametern anzugeben, und das müssen exakt so viele sein wie die Anzahl der Dimensionen des Lösungsraumes.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lösen der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 So 09.06.2013
Autor: sMaus

die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
dim (v)= 6
rg (A)= 2 , da : [mm] \pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & -2 & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

somit ist doch dim (L) = 6-2 =4

Danach setze ich für x1= [mm] 1\lambda [/mm] x2= [mm] -1\lambda [/mm] x3= [mm] 3\lambda [/mm]
x4= [mm] -2\lambda [/mm] und erhalte damit x5= [mm] 0\lambda [/mm] und x6= [mm] -1\lambda. [/mm] Daraus folgt x=(1,-1,3,-2,0,-1).

In der Dimensionsrechnung komme ich irgendwie nicht auf mein Fehler drauf.

Bezug
                        
Bezug
Lösen der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 So 09.06.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
> dim (v)= 6
> rg (A)= 2 , da : [mm]\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & -2 & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]

>

> somit ist doch dim (L) = 6-2 =4

So macht das keinen Sinn. Du musst schon deine einzelnen Rechenschritte mit angeben. Wie gesgt: ich erhalte zwei Nullzeilen...

EDIT: sorry, ich hatte mich verrechnet. Dim(U)=4 ist richtig. [ok]

> Danach setze ich für x1= [mm]1\lambda[/mm] x2= [mm]-1\lambda[/mm] x3=
> [mm]3\lambda[/mm]
> x4= [mm]-2\lambda[/mm] und erhalte damit x5= [mm]0\lambda[/mm] und x6=
> [mm]-1\lambda.[/mm] Daraus folgt x=(1,-1,3,-2,0,-1).

>

Es müssten vier unterschiedliche Parameter sein.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Lösen der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 So 09.06.2013
Autor: angela.h.b.


> die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
> dim (v)= 6
> rg (A)= 2 , da : [mm]\pmat{ \red{ 5} & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & \red{-2} & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]

>

> somit ist doch dim (L) = 6-2 =4

Hallo,

mal kochrezeptartig, anzuwenden für alle ähnlichen Gerichte:

die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2.

Daher kann man die 3.,4.,5.,6.Variable frei wählen.

Mit

[mm] x_6:=u [/mm]
[mm] x_5:=t [/mm]
[mm] x_4:=s [/mm]
[mm] x_3:=r [/mm]

erhält man aus Zeile 2

   [mm] -2x_2+0.6x_3+1.4x_4+2.2x_5+x_6=0 [/mm] <==>
[mm] x_2=0.3x_3+0.7x_4+1.1x_5+0.5x_6=0.3r+0.7s+1.1t+0.5u, [/mm]

und aus Zeile 1

    [mm] 5x_1+5x_2+2x_3+3x_4+4x_5=0 [/mm] <==>

[mm] x_1=-x_2-0.4x_3-0.6x_4-0.8x_5=-0.7r-1.3s-1.9t-0.5u [/mm]

Also haben alle Lösungen x die Gestalt

[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{-0.7r-1.3s-1.9t-0.5u\\0.3r+0.7s+1.1t+0.5u\\r\\s\\t\\u}=r*\vektor{-0.7\\0\\1\\0\\0\\0}+s*\vektor{\vdots}+t*\vektor{\vdots}+u*\vektor{\vdots}. [/mm]

Die vier Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes von Ax=0.

(Rechenfehler nicht ausgeschlossen, das Prinzip zählt!)

LG Angela

 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]