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| Aufgabe | Für welche Werte von k besitzt folgendes Gleichungssystem
1) genau eine Lsg
2) unendlich viele Lsg
3) keine Lösung?
[mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 6 \\ -4 & 2 & k^{2} }
[/mm]
[mm] b=\vektor{1 \\ 0 \\ k-2} [/mm] |
Hey ihr,
hab schnell mal dieses Beispiel durchgerechnet, und bin auf folgendes gekommen:
[mm] M=\pmat{2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & k^{2}+4}
[/mm]
[mm] c=\vektor{1 \\ -1 \\ k+2}
[/mm]
-> Aus A wurde M (nach Gauss-Algo.)
-> Aus b wurde c (nach Gauss-Algo.)
Dann hab ich die dritte Zeile des Gleichungssystems aufgestellt:
[mm] \lambda_{3}*(k^{2}+4)=k+2
[/mm]
Folgendes hab ich herausbekommen:
1) Eine Lösung: [mm] \lambda=x
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=\bruch{k+2}{k^{2}+4}
[/mm]
Es existiert eine Lösung für k [mm] \in \IR
[/mm]
2) keine Lösung: [mm] \lambda*0=x [/mm] -> [mm] x\not=0
[/mm]
[mm] k^{2}+4=0
[/mm]
[mm] k=\wurzel{-4}=i2
[/mm]
[mm] \lambda_{3}*(-4+4) [/mm] = 2+i2
Es existiert keine Lösung
3) unendlich viele Lösungen: [mm] \lambda*0=0
[/mm]
[mm] k^{2}+4=0
[/mm]
[mm] k=\wurzel{-4}=i2
[/mm]
[mm] \lambda_{3}*(-4+4) [/mm] = 2+i2
Es gibt nicht unendlich viele Lösungen.
Nun meine Frage zu Punkt 2 und 3: Stimmt das? Dh kann ich das so beweisen? In Form von Komplexen Zahlen?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, brauni
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> Für welche Werte von k besitzt folgendes Gleichungssystem
> 1) genau eine Lsg
> 2) unendlich viele Lsg
> 3) keine Lösung?
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 6 \\ -4 & 2 & k^{2} }[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{1 \\ 0 \\ k-2}[/mm]
> Hey ihr,
>
> hab schnell mal dieses Beispiel durchgerechnet, und bin auf
> folgendes gekommen:
>
> [mm]M=\pmat{2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & k^{2}+4}[/mm]
>
> [mm]c=\vektor{1 \\ -1 \\ k+2}[/mm]
>
> -> Aus A wurde M (nach Gauss-Algo.)
> -> Aus b wurde c (nach Gauss-Algo.)
>
> Dann hab ich die dritte Zeile des Gleichungssystems
> aufgestellt:
>
> [mm]\lambda_{3}*(k^{2}+4)=k+2[/mm]
>
> Folgendes hab ich herausbekommen:
Hallo,
im Prinzip (bis auf kleine Schönheitsfehler) sind Deine Ergebnisse richtig.
Leider schreibst Du nicht, welchem Raum Deine Lösungen entstammen sollen.
Sollt Ihr tatsächlich A [mm] \in \IC^{3x3} [/mm] betrachten, oder geht es um den
[mm] \IR^{3x3}?
[/mm]
Wenn es um den [mm] \\IR^3 [/mm] geht, kannst Du Dir Punkt 2) und 3) sparen, weil [mm] k^2+4>0 [/mm] für alle k [mm] \in \IR. [/mm] Somit ist für alle k [mm] \in \IR [/mm] der Rang der erweiterten Matrix A|b =3 und das GS eindeutig lösbar.
Sollt Ihr aber [mm] \IC [/mm] betrachten, muß man zwei Falle unterscheiden:
1) [mm] k^2+4 \not=0 [/mm] <==> k [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \{2i, -2i\}
[/mm]
2a) k=2i
b) k=-2i
Mehr Fälle kann es ja nicht geben.
1) Der Rang der erweiterten Matrix =3, also gibt es genau eine Lösung.
Falls du sie noch angeben möchtest, was aber gar nicht gefragt ist:
Es ist [mm] \lambda_3=..., \lambda_2=..., \lambda_1=...
[/mm]
2a) Entweder Argumentation mit Rang A und dem Rang der erweiteren Marix A|b oder
es muß gelten [mm] 0=0\lambda_3=2i+2.
[/mm]
Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat das GS keine Lösung.
2b) genauso.
Gruß v. Angela
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