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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass genau ein Paar $(x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] $ existiert, sodass
$ [mm] \frac{1}{4} \sin(x+y) [/mm] +x = 13$
$ [mm] \frac{1}{4} \cos(x-y) [/mm] - y = 17$. |
Hallo,
ich weiss bei der Aufgabe nicht so richtig wie ich rangehen soll.
Ich kann natürlich versuchen abzuschätzen und erhalte:
$ 12,75 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 13,25$ und $ -17,25 [mm] \le [/mm] y \ 16,75$
bzw.
$ -4,5 [mm] \le [/mm] x + y [mm] \le [/mm] -3,5$ und $29,5 [mm] \le [/mm] x-y [mm] \le [/mm] 30,5 $
Und nun?
Ich wäre sehr dankbar wenn mit jemand weiter helfen könnte.
Viele Grüsse
superbad
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Sa 30.05.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen Sie, dass genau ein Paar [mm](x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm]
> existiert, sodass
> [mm]\frac{1}{4} \sin(x+y) +x = 13[/mm]
> [mm]\frac{1}{4} \cos(x-y) - y = 17[/mm].
Ich würde zuerst mal beide Gleichungen subtrahieren.
Dann bekommst du
[mm] \frac{1}{4}\cdot\left(sin(x+y)-cos(x-y)\right)+x+y=-4
[/mm]
Damit hast du nur noch eine Gleichung, die du aber dann noch umformen kannst zu
[mm] \sin(x+y)-\cos(x-y)=-4\cdot(4+x+y)
[/mm]
Ob das Zielführend ist, weiss ich gerade nicht, ich hatte vermutet, dass du dann nur noch die Variablenkombination x-y bekommst, das ist aber leider nicht der Fall.
Oder, alternativ benutze am Anfang ein Additionstheorem
Damit wird
[mm] \vmat{\frac{1}{4}\sin(x+y)+x=13\\\frac{1}{4}\cos(x-y)-y=17}
[/mm]
zu
[mm] \vmat{\frac{1}{4}\cdot\left(\sin(x)\cdot\cos(y)+sin(y)\cdot\cos(x)\right)+x=13\\\frac{1}{4}\cdot\left(\cos(x)\cdot\cos(y)+sin(x)\cdot\sin(y)\right)-y)-y=17}
[/mm]
Auch das ist aber nur eine Idee, immerhin bist du jetzt die Summe/Differenz innerhalb der trigonometischen Funktionen losgeworden.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 31.05.2015 | | Autor: | chrisno |
> .....
> Ich kann natürlich versuchen abzuschätzen und erhalte:
>
> [mm]12,75 \le x \le 13,25[/mm] und [mm]-17,25 \le y \ 16,75[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]-4,5 \le x + y \le -3,5[/mm] und [mm]29,5 \le x-y \le 30,5[/mm]
>
> Und nun?
>
Damit hast Du bessere Schranken für sin(x+y) und cos(x-y). Dadurch werden die Intervalle für x und y deutlich enger. So geht es immer weiter.
Da die Aufgabe lautet, zu zeigen, dass es eine Lösung gibt, musst Du ja nicht den Wert angeben.
Ich erinnere nicht mehr die Voraussetzungen, aber wie wäre es mit dem Kontratktionssatz?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 01.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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