Lösen exakter DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 14.12.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Für x>0 betrachten wir die Differentialgleichung
[mm] (1+y'-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x=0 [/mm] mit y(1)=0
a) Ist diese Differentialgleichung exakt ?
b) Finden Sie eine Lösung y: ]0,a[ [mm] \to \IR
[/mm]
c) Was ist der größtmögliche Wert von a ?
d) Wie verhält sich y(x) für x [mm] \nearrow [/mm] a ?
e) Wie verhält sich y(x) für x [mm] \searrow [/mm] 0 ? |
Hallo,
ich habe bereits nachgewiesen, dass die DGL exakt ist (Aufgabenteil a):
[mm] (1+y'-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x=0 [/mm]
y' ausgeklammert:
[mm] e^{\bruch{y}{x}}*y'+(1-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x
[/mm]
Somit
f(x,y)= [mm] (1-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x [/mm] und
[mm] g(x,y)=e^{\bruch{y}{x}}
[/mm]
Damit die DGL exakt ist, muss ja gelten
[mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=\bruch{\partial{g(x,y)}}{\partial{x}}
[/mm]
da [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{-y*e^(\bruch{y}{x})}{x^2}
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial{g(x,y)}}{\partial{x}}= \bruch{-y*e^(\bruch{y}{x})}{x^2},
[/mm]
folgt dass die DGL exakt ist.
Eine exakte DGL löse ich ja mit
[mm] (\integral_{}^{}{f(x,y) dx})_{y}+c'(y)=g(x,y)
[/mm]
Somit erhalte ich aber
[mm] (\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})*e^(\bruch{y}{x})+2*x dx})_{y}+c'(y)=e^{\bruch{y}{x}}
[/mm]
[mm] e^{\bruch{y}{x}}+c'(y)=e^{\bruch{y}{x}}
[/mm]
und somit
c'(y)=0 bzw. c(y)=0
Das kann ja aber nicht die gewünschte Lösung sein ?!
Es muss ja zudem (wegen dem angegebenem Intervall y: ]0,a[ [mm] \to \IR) [/mm] gelten: 0 < y < a und aufgrund von y(1)=0 muss die Integrationskonstante 0 sein.
Sehe ich das soweit alles richtig ? Wo liegt mein Fehler ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 14.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht wie du bei $ [mm] (\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})\cdot{}e^(\bruch{y}{x}) dx})_{y}=e^{\bruch{y}{x}} [/mm] $
auf das Ergebnis kommst?
prüf dein Ergebnis durch differenzieren nach x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 14.12.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo
> ich seh nicht wie du bei
> [mm](\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})\cdot{}e^(\bruch{y}{x}) dx})_{y}=e^{\bruch{y}{x}}[/mm]
>
> auf das Ergebnis kommst?
> prüf dein Ergebnis durch differenzieren nach x
> Gruss leduart
Hallo,
die Schreibweise habe ich vllt. etwas unglücklich gewählt. Ich integriere ja
[mm] (1-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x) [/mm] über x, also:
[mm] (\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})\cdot{}e^{(\bruch{y}{x})}+2*x dx}).
[/mm]
Das leite ich dann nach y ab und erhalte [mm] e^{\bruch{y}{x}}
[/mm]
P.S.: (im obigen Beitrag habe ich +2*x vergessen, ich korrigiere das, auch wenn es am Ergebnis nichts ändert)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 14.12.2011 | | Autor: | bammbamm |
Nach langem probieren und herumrechnen komme ich jetzt auf ein brauchbares Ergebnis:
Ich habe [mm] x*e^{\bruch{y}{x}}+x^2+c(y)
[/mm]
c(y) ist wegen c'(y)=0 konstant.
also [mm] x*e^{\bruch{y}{x}}+x^2+const.
[/mm]
[mm] c=x*e^{\bruch{y(x)}{x}}+x^2 [/mm]
nach y(x) aufgelöst wäre dann:
[mm] y(x)=ln(\bruch{c-x^2}{x})*x
[/mm]
nun ist ja das Intervall in der aufgabe gegeben als: 0 < y(x) < a.
Nur leider weis ich nicht wie ich somit den größtmöglichen Wert von a (Teilaufgabe c) bestimmen soll ? y(x) geht ja für x->unendlich ebenfalls gegen unendlich. Somit stellt a ja keine Beschränkung mehr ? Ebenso mit der 0 ?
Dementsprechend stehe ich auch bei der d) und e) auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nach langem probieren und herumrechnen komme ich jetzt auf
> ein brauchbares Ergebnis:
>
> Ich habe [mm]x*e^{\bruch{y}{x}}+x^2+c(y)[/mm]
>
> c(y) ist wegen c'(y)=0 konstant.
>
> also [mm]x*e^{\bruch{y}{x}}+x^2+const.[/mm]
>
> [mm]c=x*e^{\bruch{y(x)}{x}}+x^2[/mm]
>
> nach y(x) aufgelöst wäre dann:
>
> [mm]y(x)=ln(\bruch{c-x^2}{x})*x[/mm]
>
> nun ist ja das Intervall in der aufgabe gegeben als: 0 <
> y(x) < a.
> Nur leider weis ich nicht wie ich somit den
> größtmöglichen Wert von a (Teilaufgabe c) bestimmen soll
> ? y(x) geht ja für x->unendlich ebenfalls gegen unendlich.
> Somit stellt a ja keine Beschränkung mehr ? Ebenso mit der
> 0 ?
>
> Dementsprechend stehe ich auch bei der d) und e) auf dem
> Schlauch.
>
Du hast die Bedingung y(1)=0 noch nicht verarbeitet !
Bestimme also die Konstante c in [mm]y(x)=ln(\bruch{c-x^2}{x})*x[/mm] so, dass y(1)=0 gilt.
Dann kümmere Dich um den maximalen Def.- Bereich von y.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Do 15.12.2011 | | Autor: | bammbamm |
> Du hast die Bedingung y(1)=0 noch nicht verarbeitet !
>
> Bestimme also die Konstante c in
> [mm]y(x)=ln(\bruch{c-x^2}{x})*x[/mm] so, dass y(1)=0 gilt.
>
> Dann kümmere Dich um den maximalen Def.- Bereich von y.
>
> FRED
Hallo,
Selbstverständlich, warum habe ich das nicht selbst gesehen...
Mit y(1)=0 habe ich somit c=2 bestimmt.
ich habe nun mit [mm]y(x)=ln(\bruch{2-x^2}{x})*x=0[/mm] nach x aufgelöst:
[mm] x_{1}=-2, x_{2}=1
[/mm]
Somit muss also für 0 < y(x) < a gelten: -2 < x < 1
Aber was ist mit der oberen Begrenzung a ? Diese müsste ja mit
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}ln(\bruch{2-x^2}{x})*x
[/mm]
immernoch gegen unendlich laufen und somit garkeine Begrenzung darstellen ?
LG
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Hallo bammbamm,
> > Du hast die Bedingung y(1)=0 noch nicht verarbeitet !
> >
> > Bestimme also die Konstante c in
> > [mm]y(x)=ln(\bruch{c-x^2}{x})*x[/mm] so, dass y(1)=0 gilt.
> >
> > Dann kümmere Dich um den maximalen Def.- Bereich von y.
> >
> > FRED
>
> Hallo,
>
> Selbstverständlich, warum habe ich das nicht selbst
> gesehen...
> Mit y(1)=0 habe ich somit c=2 bestimmt.
>
> ich habe nun mit [mm]y(x)=ln(\bruch{2-x^2}{x})*x=0[/mm] nach x
> aufgelöst:
> [mm]x_{1}=-2, x_{2}=1[/mm]
>
> Somit muss also für 0 < y(x) < a gelten: -2 < x < 1
>
> Aber was ist mit der oberen Begrenzung a ? Diese müsste ja
> mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}ln(\bruch{2-x^2}{x})*x[/mm]
> immernoch gegen unendlich laufen und somit garkeine
> Begrenzung darstellen ?
>
Gesucht ist doch der maximale Definitionsbereich für [mm]x \in \left]0,a\right[[/mm].
>
> LG
Gruss
MathePower
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Hallo bammbamm,
> > Hallo
> > ich seh nicht wie du bei
> > [mm](\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})\cdot{}e^(\bruch{y}{x}) dx})_{y}=e^{\bruch{y}{x}}[/mm]
>
> >
> > auf das Ergebnis kommst?
> > prüf dein Ergebnis durch differenzieren nach x
> > Gruss leduart
>
>
> Hallo,
>
> die Schreibweise habe ich vllt. etwas unglücklich
> gewählt. Ich integriere ja
> [mm](1-\bruch{y}{x})*e^{\bruch{y}{x}}+2*x)[/mm] über x, also:
>
> [mm](\integral_{}^{}{(1-\bruch{y}{x})\cdot{}e^{(\bruch{y}{x})}+2*x dx}).[/mm]
>
> Das leite ich dann nach y ab und erhalte [mm]e^{\bruch{y}{x}}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
Hier ist es besser zuerst
[mm]\integral_{}^{}e^{\bruch{y}{x}} \ dy[/mm]
zu bilden und dies dann nach x abzuleiten.
> P.S.: (im obigen Beitrag habe ich +2*x vergessen, ich
> korrigiere das, auch wenn es am Ergebnis nichts ändert)
Gruss
MathePower
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