Lösen in Polarkoordinaten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien n [mm] \in \IN [/mm] und b [mm] \in \IC. [/mm] Lösen Sie die Gleichung [mm] z^{n}=b [/mm] für b=-1+i, 2+i und n=2,3,4 in Polarkoordinaten. |
Hallo zusammen,
ich bin mir noch nicht sicher, wie man mit Polarkoordinaten rechnet. In der Vorlesung haben wir diese als folgende Abbildung definiert [mm] (\IC^{\*}=\IC\setminus [/mm] {0}):
[mm] exp:(\IC,+) \to (\IC^{\*},*) [/mm] ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern: [mm] \Gamma [/mm] = [mm] 2\pi*i \IZ
[/mm]
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC^{\*} \exists [/mm] r [mm] \in \IR^{>0}, \phi \in [0,2\pi] [/mm] so dass [mm] z=re^{i\phi}.
[/mm]
Nehmen wir die erste Aufgabe:
[mm] z^{1}=-1+i
[/mm]
[mm] \gdw re^{i\phi}=-1+i
[/mm]
Und wie gehts weiter?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Das hattet Ihr doch sicher in der Vorlesung:
Sei b = [mm] re^{i\phi} [/mm] ( also r=|b| und [mm] \phi [/mm] ein Argument von b). Dann sind die Lösungen der Gleichung [mm] $z^n=b$ [/mm] gegeben durch
$ [mm] \sqrt[n]{r}\cdot [/mm] exp(i [mm] \frac{\phi + 2k\pi}n), [/mm] ~~~ k = 0, 1, [mm] \ldots, [/mm] n-1.$
FRED
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Die Bezeichnung r und Argument hatten wir. Diese Formel finde ich jedoch nicht in der Vorlesung, die anschließend direkt mit 1-Formen, 2.Formen etc. weitermacht.
Einzeln ausrechnen lässt es sich nicht oder ist die Formel duetlich praktischer?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Bezeichnung r und Argument hatten wir. Diese Formel
> finde ich jedoch nicht in der Vorlesung, die anschließend
> direkt mit 1-Formen, 2.Formen etc. weitermacht.
>
> Einzeln ausrechnen lässt es sich nicht oder ist die Formel
> duetlich praktischer?
Rechne doch einfach mal !
FRED
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