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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 01.06.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Schreibe DGL bzw. AWP als System erster Ordnung um. Löse die Gleichung auf normalen Wege und löse das System wie folgt:
mit Eigenwerten und Eigenvektoren!
x´´ -2x´+2x=0 , x(0)=0 , x´(0)= 1 |
ich habe schon auf dem normalen Weg das FS bestimmt:
mit [mm] e^{(1-i)x}, e^{(1+i)x}
[/mm]
somit das [mm] Lösungssystem:{c1e^{(1-i)x}+c2e^{(1+i)x}|c1,c2 \in}
[/mm]
Mit dem AWP ergibt sich dann:
x(0)= 0 = c1+c2
x´(0)=1= ..da tritt schon dass erste Problem bei mir auf..
und dann hab ich das gleiche mit dem Eigenwert und Eigenverkotr probiert aber ich bin wieder hängen geblieben:
x´´-2x´+2x=0 , x´=z2=z1´, x= z1 und x´´=z2´
damit ergibt sich:
z1´= z2
z2´=-2z1+2z2
und ich bekomme:
[mm] \vektor{x \\ y}´= \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 2 } \vektor{z1 \\ z2}
[/mm]
Dann wollte ich die Eigenwerte berechnen:
da hab ich wie oben für [mm] \lambda1= [/mm] 1+i und [mm] \lambda2 [/mm] =1-i
Dann wollte ich dei EIgenverkoten berechnen, aber da kommts zu Problemen:
zu [mm] \lambda1 [/mm] =1+i
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 2 } \vektor{v1 \\ v2} [/mm] = [mm] \lambda1 [/mm] v
v2= (1+i) v1
-2v1+2v2= (1+i)v2
Dann würde ich ja den Vektor v= rausbekommen, aber ich kann einfach nicht nach v1 und v2 auflösen
und dasselbe Problem hab ich für [mm] \lambda2
[/mm]
und somit kann ich auch kein FS und kein Lösungssystem rausbekommen
kann mir da jemand helfen??
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Hi,
> Schreibe DGL bzw. AWP als System erster Ordnung um. Löse
> die Gleichung auf normalen Wege und löse das System wie
> folgt:
> mit Eigenwerten und Eigenvektoren!
>
> x´´ -2x´+2x=0 , x(0)=0 , x´(0)= 1
> ich habe schon auf dem normalen Weg das FS bestimmt:
>
> mit [mm]e^{(1-i)x}, e^{(1+i)x}[/mm]
> somit das
> [mm]Lösungssystem:{c1e^{(1-i)x}+c2e^{(1+i)x}|c1,c2 \in}[/mm]
>
> Mit dem AWP ergibt sich dann:
>
> x(0)= 0 = c1+c2
> x´(0)=1= ..da tritt schon dass erste Problem bei mir
> auf..
Leite deine Lösung ab und setze ein, dann hast du zwei Gleichungen mit zwei unbekannten [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] .
> und dann hab ich das gleiche mit dem Eigenwert und
> Eigenverkotr probiert aber ich bin wieder hängen
> geblieben:
>
> x´´-2x´+2x=0 , x´=z2=z1´, x= z1 und x´´=z2´
>
> z1´= z2
> z2´=-2z1+2z2
>
> und ich bekomme:
Ich weiß zwar nicht so ganz genau, was du hier veranstaltest, aber du kommst zum richtigen Ergebnis  .
> [mm]\vektor{x \\ y}´= \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 2 } \vektor{z1 \\ z2}[/mm]
>
> Dann wollte ich die Eigenwerte berechnen:
>
> da hab ich wie oben für [mm]\lambda1=[/mm] 1+i und [mm]\lambda2[/mm] =1-i
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann wollte ich dei EIgenverkoten berechnen, aber da kommts
> zu Problemen:
>
> zu [mm]\lambda1[/mm] =1+i
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 2 } \vektor{v1 \\ v2}[/mm] = [mm]\lambda1[/mm] v
Du solltest den eigenwert dann auch auf der Diagonalen einsetzen. Sei [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 2 }:=M [/mm] dann bestimme [mm] (M-I_2*\lambda_1)*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
> v2= (1+i) v1
> -2v1+2v2= (1+i)v2
>
> Dann würde ich ja den Vektor v= rausbekommen, aber ich
> kann einfach nicht nach v1 und v2 auflösen
Das klappt sobald du eingesetzt hast.
> und dasselbe Problem hab ich für [mm]\lambda2[/mm]
>
> und somit kann ich auch kein FS und kein Lösungssystem
> rausbekommen
>
> kann mir da jemand helfen??
Hoffentlich :)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 01.06.2010 | | Autor: | julmarie |
>Leite deine Lösung ab und setze ein, dann hast du zwei Gleichungen mit >zwei unbekannten und ..
Da liegt ja mein Problem:
ich bekomme dann:
(1-i)* [mm] c1e^{(1-i)x}+(1+i)* c2e^{(1+i)x}
[/mm]
mit X´(0) = 1
(1-i)c1 + (1+i)c2 =1
und
c1+c2=0
also (1-i)* -c2 + (1+i)c2 =1
dann: -c2 + ic2 +c2 + ic2= 1
> 2ic2=1
> ic2=0,5
aber das bringt mir ja nichts.. ich brauche ja c1 und c2???
$ v2= (1+i) v1
> -2v1+2v2= (1+i)v2
>
> Dann würde ich ja den Vektor v= rausbekommen, aber ich
> kann einfach nicht nach v1 und v2 auflösen
Das klappt sobald du eingesetzt hast. $
genau da liegt wieder mal mein Problem:
ich hab schomn so viel ausprobiert, komme aber nich auf ein richtig aussehendes Ergebnis!
ich bekomme für v1 = [mm] -i^2 [/mm] v1 , dass kann wohl kaum richtig sein..
kann mir da bitte nochjemand helfen? sonst komme ich nicht wieter..
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Hallo,
ich kann dein problem immernoch nicht ganz nachvollziehen.
Du hast die Eiegenwerte $ [mm] \lambda_{1,2}=1\pm [/mm] i$. So nun lösen wir [mm] (M-I_2*\lambda_1)*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \pmat{-\lambda_1 & 1 \\ -2 & 2-\lambda_1}*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \pmat{-\lambda_1 & 1 \\ -2 & 2-\lambda_1}=\pmat{-1-i & 1 \\ -2 & 1-i}
[/mm]
jetzt [mm] 2*r_1-(1+i)*r_2
[/mm]
dann hast du [mm] \pmat{0 & 0 \\ -2 & 1-i}*\vektor{x \\ y}=0 \Rightarrow [/mm] -2x+(1-i)*y=0 [mm] \Rightarrow x=\bruch{1-i}{2}*y \Rightarrow v_1=a*\vektor{\bruch{1-i}{2} \\ 1}=a'*\vektor{1 \\ 1+i} [/mm] .
Damit hast du deinen Eigenvektor... Den anderen kriegst du selbst hin, oder ?
Zu deinem Gleichungssystem oben:
-c2 + ic2 +c2 + ic2= 1
klammern wir [mm] c_2 [/mm] aus , dann ist
[mm] c_2*(-1+i+1+i)=1 \Rightarrow c_2=\bruch{1}{2i}, [/mm] ergo [mm] c_1=\bruch{-1}{2i}
[/mm]
Eleganter ist es allerdings es gleich etwas anders zu machen und zwar :
das char. polynom deiner DGl ist gegeben durch: $ [mm] s^2-2s+2=0 \gdw s_{1,2}=1\pm [/mm] i $
Dementsprechend nach benutzung der eulerschen Formel für für die polare darstellung einer komplexen zahl kommst man auf
[mm] x(t)=e^{t}*(A*cos(t)+B*sin(t)) [/mm] wobei [mm] A=c_1+c_2 [/mm] und [mm] B=i*(c_1-c_2)
[/mm]
Damit ist es vielleicht noch etwas einfacher.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Di 01.06.2010 | | Autor: | julmarie |
Danke.. da hatte ich wohl irgendeinen Denkfehler, werd mich jetzt mal an den rest setzen..
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