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| Aufgabe | Löse die folgendenen DGL:
1. f'(t)-sin(t)=0 mit [mm] f(\pi)=1
[/mm]
2. f''(t)+4*f(t)=0 mit f(0)=1, f'(0)=1
3. f'(t)=3t*f(t) mit [mm] f(0)=e^{2}
[/mm]
4. f'(t)=0 mit f(0)=2 |
Hi,
also die erste Aufgabe habe ich so gemacht:
1. f'(t)-sin(t)=0 mit [mm] f(\pi)=1 \gdw [/mm] f'(t)=sin(t)
[mm] \integral_{}^{}{sin(t) dt}=-cos(t), [/mm] da [mm] f(\pi)=-1*(-1)=1 [/mm] foglt, dass f(t)=-cos(t)
Dann bei der 4.
4. f'(t)=0 mt f(0)=2
[mm] \integral_{}^{}{0 dt}=2, [/mm] da f(0)=2, d.h. f(t)=2.
Diese beiden Aufgaben müssten doch so stimmen, oder??
Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich die 2. und die 3. rechnen muss, kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Grüße
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> Löse die folgendenen DGL:
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> 1. f'(t)-sin(t)=0 mit [mm]f(\pi)=1[/mm]
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> 2. f''(t)+4*f(t)=0 mit f(0)=1, f'(0)=1
>
> 3. f'(t)=3t*f(t) mit [mm]f(0)=e^{2}[/mm]
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> 4. f'(t)=0 mit f(0)=2
> Hi,
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> also die erste Aufgabe habe ich so gemacht:
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> 1. f'(t)-sin(t)=0 mit [mm]f(\pi)=1 \gdw[/mm] f'(t)=sin(t)
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(t) dt}=-cos(t),[/mm] da [mm]f(\pi)=-1*(-1)=1[/mm]
> foglt, dass f(t)=-cos(t) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann bei der 4.
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> 4. f'(t)=0 mt f(0)=2
>
> [mm]\integral_{}^{}{0 dt}=2,[/mm] da f(0)=2, d.h. f(t)=2.
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> Diese beiden Aufgaben müssten doch so stimmen, oder??
>
> Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich die 2. und die 3.
Hier liegt wieder eine spezielle Form vor. Du musst eigentlich nur die Form erkennen und dir den "Algorithmus" zum berechnen einprägen.
Bsp: 3)
[mm] $y'=3xy$,$y(0)=e^2$.
[/mm]
einmal formales Rechnen
$y'= & 3xy$
[mm] $\frac{dy}{dx}=& [/mm] 3xy$
[mm] $\frac{dy}{y}=3x [/mm] dx$
[mm] $\int_{y_0}^{y}{\frac{1}{y}}dy=\int_{x_0}^{x}{3x}dx$
[/mm]
[mm] $\ln{y}-2=\frac{3}{2}x^2$
[/mm]
nach y umstellen....
Das ist eine DGL mit getrennten Variablen. Allgemein:
$y'=f(x)g(y)$ mit AWP [mm] $y(x_0)=y_0$. [/mm] Gelöst wird diese wie folgt
[mm] $G(y)=\int_{y_0}^{y}{\frac{1}{g(y)}}dy$
[/mm]
[mm] $F(x)=\int_{x_0}^{x}{f(x)}dx$
[/mm]
Gleich setzen
[mm] $G(\varphi(x))=F(x)$ [/mm] und nach [mm] $\varphi$ [/mm] umstellen.
2) erster Schritt:
$y''+4y=0$ Ansatz machen mit [mm] $C(x)e^{\lambda x}$. $\lambda^2 [/mm] -4 = [mm] \gdw (\lambda -2)(\lambda [/mm] +2)=0 [mm] \gdw \lambda \in \{2,-2\}$. [/mm] Allgemeiner Ansatz ist also:
[mm] $y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}$
[/mm]
> rechnen muss, kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
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> Grüße
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Hi,
ok die 3. habe ich soweit verstanden. Aber bei der 2. haperts noch.
> Ansatz machen mit $ [mm] C(x)e^{\lambda x} [/mm] $. $ [mm] \lambda^2 [/mm] -4 = [mm] \gdw (\lambda -2)(\lambda [/mm] +2)=0 [mm] \gdw \lambda \in \{2,-2\} [/mm] $. Allgemeiner Ansatz ist also: $ [mm] y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x} [/mm] $
Wie kommst duhier auf [mm] C(x)e^{\lambda x} \lambda^2 [/mm] -4 =0?? und wie bestimme ich dann diese C(x) in $ [mm] y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x} [/mm] $??
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Hallo,
das ist eine lineare gewöhnliche differentialgleichung zweiter ordnung mit konst. koeffizienten. Dafür stellt man allgemein das char. polynom auf. Die Nullstellen des char. polynom sind [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] (für dgl 2. ordnung).
Dann ist die Lösung gegeben durch
[mm] y(x)=Ae^{\lambda_{1}*x}+B*e^{\lambda_{2}x} [/mm] .
Das ist der "allgemeine Lösungsansatz" für so eine dgl. kannst du bestimmt bei wiki nachlesen !
LG
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Nochmal eine kleine Frage.
ist hier nämlich nicht ein kleiner Fehler drin:
> 2) erster Schritt:
> $ y''+4y=0 $ Ansatz machen mit $ [mm] C(x)e^{\lambda x} [/mm] $. $ [mm] \lambda^2 [/mm] -4 =0 [mm] \gdw (\lambda -2)(\lambda [/mm] +2)=0 [mm] \gdw \lambda \in \{2,-2\} [/mm] $
Muss es nicht [mm] C(x)e^{\lambda x} [/mm] $. $ [mm] (\lambda^2 [/mm] +4) =0 heißen? Aber dann kriegt man auch keine Nullstellen mehr....
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Hallo jaruleking,
> Nochmal eine kleine Frage.
>
> ist hier nämlich nicht ein kleiner Fehler drin:
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> > 2) erster Schritt:
> > [mm]y''+4y=0[/mm] Ansatz machen mit [mm]C(x)e^{\lambda x} [/mm]. [mm]\lambda^2 -4 =0 \gdw (\lambda -2)(\lambda +2)=0 \gdw \lambda \in \{2,-2\}[/mm]
>
> Muss es nicht [mm]C(x)e^{\lambda x}[/mm] [mm].[/mm] [mm](\lambda^2[/mm] +4) =0
Das ist richtig.
> heißen? Aber dann kriegt man auch keine Nullstellen
> mehr....
Nullstellen bekommt man schon, nur sind die komplex.
Gruss
MathePower
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Ok,
ich komme dann auf das Ergebnis: [mm] f(t)=cos(2x)+\bruch{1}{2}sin(2x)
[/mm]
müsste ja eigentlich stimmen, weil so zumindest gilt: f(0)=1 und f'(0)=1.
Oder was meint ihr??
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Hallo jaruleking,
> Ok,
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> ich komme dann auf das Ergebnis:
> [mm]f(t)=cos(2x)+\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm]
>
> müsste ja eigentlich stimmen, weil so zumindest gilt:
> f(0)=1 und f'(0)=1.
>
> Oder was meint ihr??
Das Ergebnis stimmt.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du nen Fehler vermutest, dann setz die lösung (deine macht nicht viel Sinn) in die Dgl ein und prüf nach.
allerdings f''=4*f solltest du eigentlich ohne irgendwelche Rechng. sehen. die einzige fkt die du kennst die beim Ableiten dieselbe fkt bis auf nen Faktor gibt ist [mm] f=A*e^{bx}
[/mm]
wenn man die 2 mal ableitet ergibt sich [mm] A*b^2*e^{bx}=b^2*f
[/mm]
also kann [mm] b^2 [/mm] nur 2 odr -2 sein.
damit hast du deine 2 möglichen lösungen, deren Linearkomb. alle lösungen ergibt.
Immer erst ne Probe machen, bei eigenen und fremden Ergebnissen, bevor man sie für falsch oder richtig erklärt.
gruss leduart
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Hmmmmm,
willst du damit jetzt sagen, dass mein Ergebnis $ [mm] f(t)=cos(2x)+\bruch{1}{2}sin(2x) [/mm] $ falsch ist, was von MathePower bestätigt wurde??
Es gilt doch der Ansatz für y'' + [mm] a_1 [/mm] y' + [mm] a_2 [/mm] y = 0
[mm] C*e^{\lambda*x}(\lambda^2 [/mm] + [mm] a_1 \lambda [/mm] + [mm] a_2)=0
[/mm]
Und deswegen gilt bei uns wegen f''(t)+4*f(t)=0 mit f(0)=1, f'(0)=1
[mm] C*e^{\lambda*x}(\lambda^2 [/mm] + [mm] O*\lambda [/mm] + 4)=0 oder sehe ich da jetzt gerade was falsch?
was mir aber auch aufgefallen war, mit Rechnung von wieschoo komme ich auf das Ergebnis [mm] f(t)=\bruch{3}{4}e^{2x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}e^{-2x},
[/mm]
womit natürlich auch f(0)=1 und f'(0)=1 gilt. Heißt das, bei dieser Aufgabe gibt es zwei Ergebnisse?
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Hallo jaruleking,
> Hmmmmm,
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> willst du damit jetzt sagen, dass mein Ergebnis
> [mm]f(t)=cos(2x)+\bruch{1}{2}sin(2x)[/mm] falsch ist, was von
> MathePower bestätigt wurde??
>
> Es gilt doch der Ansatz für y'' + [mm]a_1[/mm] y' + [mm]a_2[/mm] y = 0
>
> [mm]C*e^{\lambda*x}(\lambda^2[/mm] + [mm]a_1 \lambda[/mm] + [mm]a_2)=0[/mm]
>
> Und deswegen gilt bei uns wegen f''(t)+4*f(t)=0 mit f(0)=1,
> f'(0)=1
>
> [mm]C*e^{\lambda*x}(\lambda^2[/mm] + [mm]O*\lambda[/mm] + 4)=0 oder sehe ich
> da jetzt gerade was falsch?
>
> was mir aber auch aufgefallen war, mit Rechnung von
> wieschoo komme ich auf das Ergebnis [mm]f(t)=\bruch{3}{4}e^{2x}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4}e^{-2x},[/mm]
>
> womit natürlich auch f(0)=1 und f'(0)=1 gilt. Heißt das,
> bei dieser Aufgabe gibt es zwei Ergebnisse?
Nein.
Entweder die DGL lautet [mm]f''\left(t\right)\blue{+}f\left(t\right)=0[/mm],
dann ist die Lösung [mm] f\left(t\right)=C_{1}*\sin\left(2x\right)+C_{2}*\cos\left(2x\right)[/mm]
Oder die DGL lautet [mm]f''\left(t\right)\blue{-}f\left(t\right)=0[/mm],
dann ist die Lösung [mm] f\left(t\right)=C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-2x}[/mm]
Gruss
MathePower
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