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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Riedi |
| Aufgabe | Hallo Leute, brauche mal bitte eure Hilfe, hab hier folgende Aufgabe:
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, d.h. geben Sie die Lösungsmenge an. Geben Sie außerdem den Rang und die Determinante der Matrix an. Geben Sie auch den Rang der erweiterten Matrix an.
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -1 & -9 \\
-6 & 6 & -9 & -15
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 \\ -21 \end{pmatrix}
[/mm] |
Ich poste mal meine bisherige Lösung:
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -1 & -9 \\
0 & 36 & 15 & -39
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 \\ -27 \end{pmatrix}
[/mm]
Ergibt folgendes Gleichungssystem:
x1 + 5x2- x3- 9x4=-1
36x2- 15x3- 13x4=-9
Ich wähle Λ=x3 und µ=x4
Dann stelle ich die 2. Gleichung nach x2 um:
[mm]x2 = -\bruch{9}{12}+\bruch{5}{12}[/mm]Λ[mm]-\bruch{13}{12}[/mm]µ
x2 dann in die 1. Gleichung eingesetzt ergibt:
[mm]x1 = \bruch{57}{12}-\bruch{13}{12}[/mm]Λ[mm]-\bruch{173}{12}[/mm]µ
Und somit meine Lösungsmenge:
[mm]
L =
\begin{pmatrix}
\bruch{57}{12} \\ -\bruch{9}{12} \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]+Λ[mm]
\begin{pmatrix}
-\bruch{13}{12} \\ \bruch{5}{12} \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]+µ[mm]
\begin{pmatrix}
-\bruch{173}{12} \\ -\bruch{13}{12} \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Tut mir leid wegen des Codes, war mein erste Post, bin noch net ganz fit in Formeln eingeben.
So erstmal die Frage, ist meine Lösung richtig? Bin mir nicht sicher ob das so richtig ist mit den Parametern Müh und Lambda.
Desweiteren wird in der Aufgabenstellung nach den Rang der Matrix und dem Rang der erweiterten Matrix gefragt. Ich dachte immer der Rang der Matrix und der der erweiterten Matrix ist ein und das gleiche. Der Rang wird doch definiert als die Anzahl der Zeilenvektoren, die nach dem Umformen ungleich 0 sind.
Also in meiner Aufgabe rg(A)=2, oder nicht?
Auch das Ausrechnen der Determinante ist mir nicht 100%ig klar. Bis jetzt habe ich nur mxm Matrizen berechnet. Ist das jetzt hier so das ich meine Determinate einfach wie folgt aufstelle:
det(A)=1+36=36 ?
Ich hoffe ihr könnt mir ein Wenig weiterhelfen. Achso bei meiner Lösungsmenge hab ich Lambda und Müh is Element IR vergessen.
VG
Riedi
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute, brauche mal bitte eure Hilfe, hab hier
> folgende Aufgabe:
> Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus, d.h. geben Sie die Lösungsmenge
> an. Geben Sie außerdem den Rang und die Determinante der
> Matrix an. Geben Sie auch den Rang der erweiterten Matrix
> an.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -1 & -9 \\
-6 & 6 & -9 & -15
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 \\ -21 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> Ich poste mal meine bisherige Lösung:
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -1 & -9 \\
0 & 36 & 15 & -39
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -1 \\ -27 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> Ergibt folgendes Gleichungssystem:
> x1 + 5x2- x3- 9x4=-1
> 36x2- 15x3- 13x4=-9
>
> Ich wähle Λ=x3 und µ=x4
>
> Dann stelle ich die 2. Gleichung nach x2 um:
>
> [mm]x2 = -\bruch{9}{12}+\bruch{5}{12}[/mm]Λ[mm]-\bruch{13}{12}[/mm]µ
>
> x2 dann in die 1. Gleichung eingesetzt ergibt:
>
> [mm]x1 = \bruch{57}{12}-\bruch{13}{12}[/mm]Λ[mm]-\bruch{173}{12}[/mm]µ
>
> Und somit meine Lösungsmenge:
>
> [mm]
L =
\begin{pmatrix}
\bruch{57}{12} \\ -\bruch{9}{12} \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]+Λ[mm]
\begin{pmatrix}
-\bruch{13}{12} \\ \bruch{5}{12} \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
[/mm]+µ[mm]
\begin{pmatrix}
-\bruch{173}{12} \\ -\bruch{13}{12} \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Tut mir leid wegen des Codes, war mein erste Post, bin noch
> net ganz fit in Formeln eingeben.
> So erstmal die Frage, ist meine Lösung richtig? Bin mir
> nicht sicher ob das so richtig ist mit den Parametern Müh
> und Lambda.
Das hab ich nicht nachgerechnet, sieht aber auf den ersten Blick gut aus.
> Desweiteren wird in der Aufgabenstellung nach den Rang der
> Matrix und dem Rang der erweiterten Matrix gefragt. Ich
> dachte immer der Rang der Matrix und der der erweiterten
> Matrix ist ein und das gleiche.
Nein. Schau Dir mal das an:
[mm] \pmat{ 1&1&|&1\\ 0&0&|&1 }
[/mm]
> Der Rang wird doch
> definiert als die Anzahl der Zeilenvektoren, die nach dem
> Umformen ungleich 0 sind.
>
> Also in meiner Aufgabe rg(A)=2, oder nicht?
Ja
>
> Auch das Ausrechnen der Determinante ist mir nicht 100%ig
> klar. Bis jetzt habe ich nur mxm Matrizen berechnet. Ist
> das jetzt hier so das ich meine Determinate einfach wie
> folgt aufstelle:
>
> det(A)=1+36=36 ?
Hä ? Für nichtquadratische Matrizen gibt es den Begriff der Determinante nicht !
FRED
>
> Ich hoffe ihr könnt mir ein Wenig weiterhelfen. Achso bei
> meiner Lösungsmenge hab ich Lambda und Müh is Element IR
> vergessen.
>
> VG
> Riedi
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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