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| Aufgabe | Lösen Sie die dreidimensionale Wellengleichung
[mm] \Delta [/mm] u - [mm] \partial_t^2 [/mm] u = 0
mit der unstetigen Anfangsbedingung
u [mm] (x,0)=u_0= [/mm] 0 ,
[mm] u_t(x,0)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }|x| \le \mbox{1} \\
0, & \mbox{sonst} \mbox{ }
\end{matrix}\right.
[/mm]
und untersuchen Sie die Unstetigkeiten der Lösung u(x,t).
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Hallo.
Vor weg. Ich bin erst poster. Und bitte um Nachsicht, falls noch nicht alles perfekt ist. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage ist nun, wie man diese zweite Anfangsbedingung [mm] u_t [/mm] verarbeiten kann.
Die Lösungen ergeben sich nach einer Formel aus der Vorlesung mit
u(x,t)= [mm] t\cdot M(t)[u_t](x) [/mm] + [mm] \partial_t(t\cdot M(t)[u_0](x))
[/mm]
wobei
M(t) [u](x) = [mm] \bruch{1}{4 \pi}\integral_{S^2}^{} [/mm] u(x+t [mm] \xi) \, [/mm] dx
ist.
Also für [mm] u_0 [/mm] ist der Operator ja trivial. Nämlich 0!?
Probleme hat uns beim rechnen aber die Bedingung [mm] u_t(x,0) [/mm] gemacht. Denn setzt man in das Integral 1 ein, ergibt sich integriert [mm] 4\pi [/mm] und somit für [mm] M(t)[u_t](x)=1. [/mm] Die allgemein Lösung wäre dann u(x,t)=t. Das erscheint uns aber nicht richtig... Kann jemand sagen, wie man die zweite Bedingung zu lesen hat?
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Hallo,
> Lösen Sie die dreidimensionale Wellengleichung
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> [mm]\Delta[/mm] u - [mm]\partial_t^2[/mm] u = 0
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> mit der unstetigen Anfangsbedingung
>
> u [mm](x,0)=u_0=[/mm] 0 ,
>
> [mm]u_t(x,0)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }|x| \le \mbox{1} \\
0, & \mbox{sonst} \mbox{ }
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> und untersuchen Sie die Unstetigkeiten der Lösung u(x,t).
>
> Hallo.
>
> Vor weg. Ich bin erst poster. Und bitte um Nachsicht, falls
> noch nicht alles perfekt ist. Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Die Frage ist nun, wie man diese zweite Anfangsbedingung
> [mm]u_t[/mm] verarbeiten kann.
>
> Die Lösungen ergeben sich nach einer Formel aus der
> Vorlesung mit
>
> u(x,t)= [mm]t\cdot M(t)[u_t](x)[/mm] + [mm]\partial_t(t\cdot M(t)[u_0](x))[/mm]
>
> wobei
>
> M(t) (x) = [mm]\bruch{1}{4 \pi}\integral_{S^2}^{}[/mm] u(x+t [mm]\xi) \, dx[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass hier ueber [mm] $\xi$ [/mm] integriert wird, sonst macht das naemlich keinen sinn....
> Also für [mm]u_0[/mm] ist der Operator ja trivial. Nämlich 0!?
> Probleme hat uns beim rechnen aber die Bedingung [mm]u_t(x,0)[/mm]
> gemacht. Denn setzt man in das Integral 1 ein, ergibt sich
> integriert [mm]4\pi[/mm] und somit für [mm]M(t)[u_t](x)=1.[/mm]
So leicht ist das natuerlich nicht.... [mm] $u_t$ [/mm] ist ja nur innerhalb der einheitskugel gleich 1, d.h. es wird vermutlich schwierig sein, einen geschlossenen ausdruck fuer dieses integral zu finden. denn das integral haengt vom wert x (um diesen wird integriert) und t (mit diesem radius wird integriert) ab.
>Die allgemein [/u]
> Lösung wäre dann u(x,t)=t. Das erscheint uns aber nicht
> richtig... Kann jemand sagen, wie man die zweite Bedingung
> zu lesen hat?
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Sa 12.05.2007 | | Autor: | hiohliuzh |
Danke für die Hilfe.
Die Lösung u(x,t)=t war schon eine Lösung, aber anscheinend nicht die einzige. Man kann noch zahlreiche Fallunterscheidungen machen und die Aufgabe bezüglich Unstetigkeiten untersuchen.
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