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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Geben Sie die Lösungsmenge folgender Betragsungleichung an:
[mm] | x^2 + 4x + 3 | \ge | \bruch{1}{3} x + 1 | [/mm] |
Hallo!
Ich fange mal an was ich mir zu der Aufgabe gedacht habe.
Also die Lösungsmenge dieser Betragsungleichung sind, wenn ich mich nicht irre, alle x-Werte für die die Betragsgleichung der Parabel größer-gleich der Betragsgleichung der linearen Funktion ist.
Somit habe ich die beiden Funktionen mal geplottet und dabei ist mir die Lösungsmenge sofort ins Auge gefallen. Es müssten alle x-Werte die Betragsungleichung erfüllen, bis auf die x-Werte, die zwischen [mm]- \bruch{4}{3}[/mm] und [mm]- \bruch{2}{3}[/mm] liegen. Denn in diesem Intervall ist die Betragsgleichung der Parabel kleiner-gleich der Betragsgleichung der linearen Funktion.
Natürlich kann ich bei einer Klausur nicht plotten, das weiß ich.
Also muss ich so eine Aufgabe funktional lösen. Ich habe dann vier Fallunterscheidungen gemacht:
1. Fall: [mm] x^2 + 4x + 3 > 0 \wedge \bruch{1}{3} x + 1 > 0 [/mm]
dabei folgte: [mm] x \ge -\bruch{2}{3} \vee x \le -3 [/mm]
2. Fall: [mm] x^2 + 4x + 3 < 0 \wedge \bruch{1}{3} x + 1 > 0 [/mm]
dabei folgte: [mm] -3 \le x \le -\bruch{4}{3} [/mm]
3. Fall: [mm] x^2 + 4x + 3 < 0 \wedge \bruch{1}{3} x + 1 < 0 [/mm]
dabei folgte: [mm] -3 \le x \le -\bruch{2}{3} [/mm]
4. Fall: [mm] x^2 + 4x + 3 > 0 \wedge \bruch{1}{3} x + 1 < 0 [/mm]
dabei folgte: [mm] x \ge -\bruch{4}{3} \vee x \le -3 [/mm]
Wie man sieht habe ich alle vier Teillösungsmengen ausgerechnet. Doch wie komme ich jetzt an die Gesamtlösungsmenge?
Diese müsste nämlich nach Plotten folgende sein:
[mm] \IL = \{ x \in \IR \backslash [-\bruch{4}{3};-\bruch{2}{3}] \} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht einfacher:
Mit [mm] $|x^2+4x+3 [/mm] = [mm] 3|x+1|*|\bruch{1}{3}x+1|$
[/mm]
folgt:
(*) $ | [mm] x^2 [/mm] + 4x + 3 | [mm] \ge [/mm] | [mm] \bruch{1}{3} [/mm] x + 1 | [mm] \gdw3|x+1|*|\bruch{1}{3}x+1| \ge [/mm] | [mm] \bruch{1}{3} [/mm] x + 1 | $
Man sieht: x =-3 ist eine Lösung.
Für x [mm] \ne [/mm] -3 gilt : (*) [mm] \gdw [/mm] $3|x+1| [mm] \ge [/mm] 1$
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Nicht wirklich...
Wie kommst du auf $ [mm] |x^2+4x+3 [/mm] = [mm] 3|x+1|\cdot{}|\bruch{1}{3}x+1| [/mm] $ ?
Insbesondere auf das $ 3|x+1| $ ?
Mir gehts ja nicht genau um die Aufgabe sondern generell darum wie ich mit Hilfe der 4 Teillösungsmengen auf die Gesamtlösungsmenge komme, damit ich in der Klausur später auch andere Aufgaben mit dem Weg lösen kann.
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Hallo erstmal,
darauf kommst du z.B. mit Polynomdivision...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Achso!
Trotzdem würde ich gerne ein "Allgemeinrezept" dafür haben wie ich mit Hilfe der vier Teillösungsmengen auf die Gesamtlösungsmenge komme.
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Hallo bOernY,
> Achso!
>
> Trotzdem würde ich gerne ein "Allgemeinrezept" dafür
> haben wie ich mit Hilfe der vier Teillösungsmengen auf die
> Gesamtlösungsmenge komme.
Nun, ich habe deine Rechnung nicht nachgerechnet, aber das Abklappern aller Fälle, so wie du es gemacht hast, ist sicher richtig und ein allgemeingültiger Weg.
Die Gesamtlösung ergibt sich als Vereinigung aller Teillösungen aus den Fällen ...
Das kannst du ja mal machen und gucken, ob du auch tatsächlich auf die abgelesene Lösung kommst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Die Vereinigung aller Teillösungsmengen wären alle $ x [mm] \in \IR [/mm] $
So langsam fang ich an zu verzweifeln...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Vereinigung aller Teillösungsmengen wären alle [mm]x \in \IR[/mm]
>
> So langsam fang ich an zu verzweifeln...
Du schreibst:
"3. Fall: $ [mm] x^2 [/mm] + 4x + 3 < 0 [mm] \wedge \bruch{1}{3} [/mm] x + 1 < 0 $
dabei folgte: $ -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le -\bruch{2}{3} [/mm] $ "
Und das stimmt nicht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Ich finde keinen Fehler. Hier mal meine ausführliche Rechnung:
$ [mm] -(x^2 [/mm] + 4x + 3) [mm] \ge -(\bruch{1}{3}x [/mm] + 1) $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] + 4x + 3 [mm] \le \bruch{1}{3}x [/mm] + 1 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] + [mm] \bruch{11}{3}x [/mm] + 2 [mm] \le [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] + [mm] \bruch{11}{3}x +(\bruch{11}{6})^2 [/mm] + 2 - [mm] (\bruch{11}{6})^2 \le [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw (x+\bruch{11}{6})^2 [/mm] - [mm] \bruch{49}{36} \le [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw (x+3)*(x+\bruch{2}{3} \le [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] -3 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge -\bruch{2}{3} \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] -3 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le -\bruch{2}{3}$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le -\bruch{2}{3}$
[/mm]
Ist doch richtig, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Oben gehst Du aus von $ [mm] \bruch{1}{3}x+1 [/mm] < 0$. Das ist gleichbedeutend mit x<-3.
dann kann doch unmöglich etwas mit x [mm] \ge [/mm] 3 herauskommen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 02.03.2010 | | Autor: | bOernY |
Aber ich finde keinen Fehler in meiner Rechnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aber ich finde keinen Fehler in meiner Rechnung?
Dein 3. Fall
(*) $ [mm] x^2 [/mm] + 4x + 3 < 0 [mm] \wedge \bruch{1}{3} [/mm] x + 1 < 0 $
kann gar nicht eintreten !!
Denn: (*) [mm] \gdw [/mm] -3<x<-1 [mm] \wedge [/mm] x<-3 !!!
Vielleicht siehst Du jetzt ein, dass mein obiger Vorschlag (https://matheraum.de/read?i=660708) doch nicht so schlecht war
.... manchmal ist es vorteilhaft, auf ältere menschen zu hören ....
Gruß FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 02.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
du hast hergeleitet, dass für Zahlen x, für die der 3. Fall vorliegt (!), die Betragsungleichung gleichbedeutend mit [mm] $-3\le x\le-\bruch23$ [/mm] ist. Das heißt nicht, dass alle Zahlen x mit [mm] $-3\le x\le-\bruch23$ [/mm] Lösungen sind! Hier hat dir Fred ja erklärt, dass es sogar gar keine Zahlen x gibt, für die der 3. Fall vorliegt.
Wie kannst du nun mit so einer Fallunterscheidung an die genauen Lösungen der Ausgangsgleichung kommen?
Beispielsweise hast du dir überlegt, dass Zahlen x, für die der 1. Fall vorliegt (!), genau dann die Ausgangsgleichung lösen, wenn $ x [mm] \ge -\bruch{2}{3} \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] -3 $. Überlege dir nun, für welche Zahlen x der 1. Fall zutrifft. Dann kannst du bestimmen, welche Zahlen x gleichzeitig den 1. Fall hervorrufen und die Ausgangsungleichung lösen.
So erhältst du in den vier Fällen Lösungen der Ausgangsgleichung, und zwar insgesamt alle Lösungen der Ausgangsgleichung.
Viele Grüße
Tobias
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