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Lösung der Anfangswertaufgabe: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:41 Do 25/01/2018
Author: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe

y`(x) = [mm] (y(x))^3*e^{2x} [/mm] ; y(0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Hallo,

hier einmal mein bisheriger Ansatz:

y'(x) = [mm] (y(x))^3*e^{2x} [/mm]  => [mm] \bruch{dy}{dx}=y^3*e^{2x} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{y^3} [/mm] dy = [mm] e^{2x} [/mm] dx

[mm] \integral{\bruch{1}{y^3}} [/mm] dy => [mm] \integral{e^{2x}}dx [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2y^2}=\bruch{1}{2}e^{2x}+C [/mm]

=> -1 = [mm] 2y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C) [/mm]

= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C) [/mm]

= [mm] \bruch{- \bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}e^{2x}+C} [/mm] = [mm] y^2 [/mm]

= - [mm] \bruch{1}{e^{2x}+C} [/mm] = [mm] y^2 [/mm]

y(x) = [mm] \wurzel{- \bruch{1}{e^{2x}+C}} [/mm]

Nun scheint ja etwas nicht zu stimmen, da ich einen negativen Ausdruck in der Wurzel stehen habe - wo habe ich einen Fehler gemacht ?

Vielen Dank

        
Bezug
Lösung der Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:08 Do 25/01/2018
Author: Diophant

Hallo,

au weia, da sind dir aber in Sachen Notation einige arge Schnitzer unterlaufen (Implikationspfeil anstatt Gleichheitszeichen etc.).

> Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe

>

> y'(x) = [mm](y(x))^3*e^{2x}[/mm] ; y(0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo,

>

> hier einmal mein bisheriger Ansatz:

>

> y'(x) = [mm](y(x))^3*e^{2x}[/mm] => [mm]\bruch{dy}{dx}=y^3*e^{2x}[/mm]

>

> = [mm]\bruch{1}{y^3}[/mm] dy = [mm]e^{2x}[/mm] dx

>

> [mm]\integral{\bruch{1}{y^3}}[/mm] dy => [mm]\integral{e^{2x}}dx[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}=\bruch{1}{2}e^{2x}+C[/mm]

>

Bis auf die Notation (wie schon erwähnt) ist das richtig. [ok]

Was jetzt kommt, kann man wohl am einfachsten mit der Bemerkung warum einfach, wenns auch kompliziert geht? bewerten. ;-)


> => -1 = [mm]2y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)[/mm]

>

> = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)[/mm]

>

> = [mm]\bruch{- \bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}e^{2x}+C}[/mm] = [mm]y^2[/mm]

>

> = - [mm]\bruch{1}{e^{2x}+C}[/mm] = [mm]y^2[/mm]

 
>

> y(x) = [mm]\wurzel{- \bruch{1}{e^{2x}+C}}[/mm]

>

> Nun scheint ja etwas nicht zu stimmen, da ich einen
> negativen Ausdruck in der Wurzel stehen habe - wo habe ich
> einen Fehler gemacht ?

Das ist kein Fehler, sondern deinem Lösungsweg geschuldet. Der Wurzelinhalt muss ja auch nicht negativ sein, je nach dem Wert von C gibt es einen nichtleeren Definitionsbereich für den Wurzelterm

Für dein Anfangswertproblem sollte C=-5 herauskommen.

So habe ich das gelöst:

[mm]\begin{aligned} - \frac{1}{2y^2}&= \frac{1}{2}e^{2x}+c\\ \\ \frac{1}{y^2}&=-e^{2x}-2c\ ;\ C=-2c\ \Rightarrow\\ \\ y^2&=\frac{1}{C-e^{2x}}\\ \\ y&= \pm\sqrt{\frac{1}{C-e^{2x}}} \end{aligned}[/mm]

Beachte, dass da nach dem Radizieren durchaus ersteinmal ein 'Plus/Minus' vor der Wurzel stehen muss. Das wird erst durch deinen positiven Anfangswert positiv. Weiter musst du hier beachten dass meine Konstante C für einen anderen Wert steht als deine (Ich habe die Substitution der Konstante, die ich durchgeführt habe, oben angegeben).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lösung der Anfangswertaufgabe: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:16 So 28/01/2018
Author: Dom_89

Vielen Dank für die schnelle Hilfe - hat alles wunderbar geklappt !

Bezug
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