Lösung der Aufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 11.03.2008 | | Autor: | Ilias |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblem und das größte INtervall, auf dem die Lösung definiert ist:
[mm] u^{'}(t)+u(t)=e^{3t} [/mm] ;u(0)=0 |
Also ich hab die Aufgabe wie folgt gerechnet, da ich in unserem Skript folgenden Satz gefunden habe:
[mm] u^{'}(t)+p(t)u(t)=q(t) [/mm]
somit kann ich wie folgt die DGL lösen:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-P(t)+P(t0)}+e^{-P(t)}*\integral_{t0}^{t}{e^{P(s)}*q(s) ds}
[/mm]
Schritt 1:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*\integral_{0}^{t}{e^{s}*e^{3s} ds}
[/mm]
Schritt 2:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*\integral_{0}^{t}{e^{4s} ds}
[/mm]
Schritt3:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*(e^{4t}/4-1/4)
[/mm]
Schritt 4:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{3t}/4-(e^{-t}/4)
[/mm]
ist zwar ne blöde frage, aber wie soll ich jetzt genau weitermachen?
man hat mir gesagt, das man diese Aufgabe auch mittels dem integrierenden Faktor lösen kann. Könnt ihr mir vieleicht sagen, wann ich den oberen Satz oder den integrierenden faktor verwenden sollte? Wann wäre was geschickter...ok vielen dank
Gruß Ilias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
hi!
die Lösung der DGL scheint mir nicht ganz richtig...
ich versuchs mal:
[mm] u'(t)=-u(t)+e^{3t}
[/mm]
1. schritt: man betrachte die homogene Gleichung u(t)=-u(t) [mm] \Rightarrow u(t)=e^{-t}c
[/mm]
2. schritt: Variation der Konstanten: [mm] u(t)=e^{-t}c(t) [/mm] (0)
[mm] \Rightarrow u'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{-t}c'(t) [/mm] (1)
In der gegebenen DGL steht [mm] u'(t)=-u(t)+e^{3t} [/mm] und mit der Substitution am Anfang dieses Schrittes: [mm] u'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{3t} [/mm] (2)
3. schritt: (1) und (2) gleichsetzen liefert: [mm] -e^{-t}c(t)+e^{-t}c'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{3t} \gdw e^{-t}c'(t)=e^{3t} \gdw c'(t)=e^{4t} \gdw c(t)=\integral_{0}^{t}{e^{4s}ds}+u_0 \gdw c(t)=\bruch{1}{4}e^{4t}+u_0
[/mm]
4. schritt: einsetzen in (0) liefert [mm] u(t)=u_0e^{-t}+\bruch{1}{4}e^{3t}
[/mm]
5. schritt (anfangswertproblem: bestimme [mm] u_0 [/mm] so, dass u(0)=0):
[mm] u(0)=u_0e^{0}+\bruch{1}{4}e^{0}=u_0+\bruch{1}{4}=0 \gdw u_0=-\bruch{1}{4}
[/mm]
fertige Funktion ist also: [mm] u(t)=-\bruch{1}{4}e^{-t}+\bruch{1}{4}e^{3t}
[/mm]
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