Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mo 18.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x} [/mm] |
Hallo,
die homogene Lösung habe ich bereits mit [mm] y_{h}=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{x} [/mm] bestimmt, was sich soweit auch mit der Lösung der Aufgabe deckt.
Bei der speziellen Lösung komme ich aber momentan nicht so richtig weiter:
b(x) = [mm] 10e^{x}
[/mm]
Mit den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten Seite" hätte ich nun im Folgenden [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm] genommen. In der Lösung ist hier aber dann [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Axe^{x} [/mm] genommen worden und A = -10.
Warum wurde das hier so gemacht ?
Vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 18.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
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> [mm]y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x}[/mm]
> Hallo,
>
> die homogene Lösung habe ich bereits mit
> [mm]y_{h}=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{x}[/mm] bestimmt, was sich soweit auch
> mit der Lösung der Aufgabe deckt.
>
> Bei der speziellen Lösung komme ich aber momentan nicht so
> richtig weiter:
>
> b(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> Mit den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten
> Seite" hätte ich nun im Folgenden [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]
> genommen. In der Lösung ist hier aber dann [mm]y_{s}(x)[/mm] =
> [mm]Axe^{x}[/mm] genommen worden und A = -10.
>
> Warum wurde das hier so gemacht ?
Eine Funktion der Form [mm] Ae^x [/mm] kann doch niemals Lösung der inhomogenen Dgl sein, denn [mm] Ae^x [/mm] löst doch die zugehörige homogene Dgl.
>
> Vielen Dank !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 19.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred97,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich möchte nochmal etwas genauer mein Verständnisproblem beschreiben:
In den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten Seite" findet man meist ja Folgendes:
b(x) = [mm] De^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{\lambda*x} [/mm] ; [mm] \lambda \not= [/mm] -a
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Axe^{\lambda*x} [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] = -a
In meiner Aufgabe [mm] y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x} [/mm] habe ich nun auch versucht dieses Schema anzuwenden:
b(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 1
a = 2
=> [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm] ; [mm] \lambda \not= [/mm] -a
Zum weiteren Berechnen benötige ich ja dann noch die Ableitungen, die dann lauten:
[mm] y_{s}'(x) [/mm] = [mm] Ae^{x}
[/mm]
[mm] y_{s}''(x) [/mm] = [mm] Ae^{x}
[/mm]
Die Ausgangsgleichung dann umgeschrieben ergibt doch:
[mm] y_{s}''(x) [/mm] - [mm] 3y_{s}'(x) [/mm] + [mm] 2y_{s}(x) [/mm] = b(x)
[mm] Ae^{x} [/mm] - [mm] 3Ae^{x} [/mm] + [mm] 2Ae^{x} [/mm] = [mm] 10e^{x} [/mm]
Und das führt doch dann zu einem Widerspruch :(
Wo ist denn mein Denkfehler ?
Danke!
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Hallo,
> Ich möchte nochmal etwas genauer mein Verständnisproblem
> beschreiben:
>
> In den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten
> Seite" findet man meist ja Folgendes:
>
> b(x) = [mm]De^{\lambda*x}[/mm]
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{\lambda*x}[/mm] ; [mm]\lambda \not=[/mm] -a
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Axe^{\lambda*x}[/mm] ; [mm]\lambda[/mm] = -a
>
>
Woher kommen denn die -a, das musst du schon dazusagen.
> In meiner Aufgabe [mm]y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x}[/mm] habe ich nun
> auch versucht dieses Schema anzuwenden:
>
> b(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1
> a = 2
>
> => [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm] ; [mm]\lambda \not=[/mm] -a
>
> Zum weiteren Berechnen benötige ich ja dann noch die
> Ableitungen, die dann lauten:
>
> [mm]y_{s}'(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]
> [mm]y_{s}''(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]
>
> Die Ausgangsgleichung dann umgeschrieben ergibt doch:
>
> [mm]y_{s}''(x)[/mm] - [mm]3y_{s}'(x)[/mm] + [mm]2y_{s}(x)[/mm] = b(x)
>
> [mm]Ae^{x}[/mm] - [mm]3Ae^{x}[/mm] + [mm]2Ae^{x}[/mm] = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> Und das führt doch dann zu einem Widerspruch :(
>
> Wo ist denn mein Denkfehler ?
Dein Denkfehler besteht darin, dass die Störfunktion vom Typ
[mm] y_S=A*e^x=A*e^{1*x}
[/mm]
ist. Also ist a=1 und das ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung. Dann kommt laut den Tabellen der Ansatz
[mm] y_P=A*x*e^{a*x}
[/mm]
zur Anwendung, was eben in deinem Fall auf
[mm] y_P=-10*x*e^x
[/mm]
hinausläuft.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Di 19.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Diophant,
jetzt hat alles so funktioniert, wie es auch soll - ich hatte den entsprechenden (wichtigen) Satz im Lehrbuch überlesen und mich daher nur auf die andere Geschichte fokussiert
Besten Dank für die Hilfe
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