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Lösung der DGL: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Mo 18.06.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

[mm] y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x} [/mm]

Hallo,

die homogene Lösung habe ich bereits mit [mm] y_{h}=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{x} [/mm] bestimmt, was sich soweit auch mit der Lösung der Aufgabe deckt.

Bei der speziellen Lösung komme ich aber momentan nicht so richtig weiter:

b(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]

Mit den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten Seite" hätte ich nun im Folgenden [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm] genommen. In der Lösung ist hier aber dann  [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Axe^{x} [/mm] genommen worden und A = -10.

Warum wurde das hier so gemacht ?

Vielen Dank !

        
Bezug
Lösung der DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mo 18.06.2018
Autor: fred97


> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>  
> [mm]y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x}[/mm]
>  Hallo,
>  
> die homogene Lösung habe ich bereits mit
> [mm]y_{h}=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{x}[/mm] bestimmt, was sich soweit auch
> mit der Lösung der Aufgabe deckt.
>  
> Bei der speziellen Lösung komme ich aber momentan nicht so
> richtig weiter:
>  
> b(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>  
> Mit den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten
> Seite" hätte ich nun im Folgenden [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]
> genommen. In der Lösung ist hier aber dann  [mm]y_{s}(x)[/mm] =
> [mm]Axe^{x}[/mm] genommen worden und A = -10.
>  
> Warum wurde das hier so gemacht ?

Eine Funktion der Form [mm] Ae^x [/mm] kann doch niemals Lösung der inhomogenen Dgl sein,  denn [mm] Ae^x [/mm] löst  doch die zugehörige homogene Dgl.


>  
> Vielen Dank !


Bezug
                
Bezug
Lösung der DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo fred97,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich möchte nochmal etwas genauer mein Verständnisproblem beschreiben:

In den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten Seite" findet man meist ja Folgendes:

b(x) = [mm] De^{\lambda*x} [/mm]
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{\lambda*x} [/mm] ; [mm] \lambda \not= [/mm] -a
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Axe^{\lambda*x} [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] = -a


In meiner Aufgabe [mm] y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x} [/mm] habe ich nun auch versucht dieses Schema anzuwenden:

b(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]

[mm] \lambda [/mm] = 1
a = 2

=> [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm] ; [mm] \lambda \not= [/mm] -a

Zum weiteren Berechnen benötige ich ja dann noch die Ableitungen, die dann lauten:

[mm] y_{s}'(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm]
[mm] y_{s}''(x) [/mm] = [mm] Ae^{x} [/mm]

Die Ausgangsgleichung dann umgeschrieben ergibt doch:

[mm] y_{s}''(x) [/mm] - [mm] 3y_{s}'(x) [/mm] + [mm] 2y_{s}(x) [/mm] = b(x)

[mm] Ae^{x} [/mm] - [mm] 3Ae^{x} [/mm] + [mm] 2Ae^{x} [/mm] = [mm] 10e^{x} [/mm]

Und das führt doch dann zu einem Widerspruch :(

Wo ist denn mein Denkfehler ?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Lösung der DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Di 19.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich möchte nochmal etwas genauer mein Verständnisproblem
> beschreiben:

>

> In den gängigen Tabellen zum "Ansatz vom Typ der rechten
> Seite" findet man meist ja Folgendes:

>

> b(x) = [mm]De^{\lambda*x}[/mm]
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{\lambda*x}[/mm] ; [mm]\lambda \not=[/mm] -a
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Axe^{\lambda*x}[/mm] ; [mm]\lambda[/mm] = -a

>
>

Woher kommen denn die -a, das musst du schon dazusagen.

> In meiner Aufgabe [mm]y''(x)-3y'(x)+2y(x)=10e^{x}[/mm] habe ich nun
> auch versucht dieses Schema anzuwenden:

>

> b(x) = [mm]10e^{x}[/mm]

>

> [mm]\lambda[/mm] = 1
> a = 2

>

> => [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm] ; [mm]\lambda \not=[/mm] -a

>

> Zum weiteren Berechnen benötige ich ja dann noch die
> Ableitungen, die dann lauten:

>

> [mm]y_{s}'(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]
> [mm]y_{s}''(x)[/mm] = [mm]Ae^{x}[/mm]

>

> Die Ausgangsgleichung dann umgeschrieben ergibt doch:

>

> [mm]y_{s}''(x)[/mm] - [mm]3y_{s}'(x)[/mm] + [mm]2y_{s}(x)[/mm] = b(x)

>

> [mm]Ae^{x}[/mm] - [mm]3Ae^{x}[/mm] + [mm]2Ae^{x}[/mm] = [mm]10e^{x}[/mm]

>

> Und das führt doch dann zu einem Widerspruch :(

>

> Wo ist denn mein Denkfehler ?

Dein Denkfehler besteht darin, dass die Störfunktion vom Typ

[mm] y_S=A*e^x=A*e^{1*x} [/mm]

ist. Also ist a=1 und das ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung. Dann kommt laut den Tabellen der Ansatz

[mm] y_P=A*x*e^{a*x} [/mm]

zur Anwendung, was eben in deinem Fall auf

[mm] y_P=-10*x*e^x [/mm]

hinausläuft.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Lösung der DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo Diophant,

jetzt hat alles so funktioniert, wie es auch soll - ich hatte den entsprechenden (wichtigen) Satz im Lehrbuch überlesen und mich daher nur auf die andere Geschichte fokussiert

Besten Dank für die Hilfe

Bezug
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