Lösung der Differentialgleichu < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Ich bräuchte dringend die Lösung für folgende Aufgabe als Klausurvorbereitung:
Löse die Differentialgleichung:
[mm] cos^{2}x*y'+sinx*y=0 [/mm] für [mm] \vmat{ \pi } [/mm] mit y(0) = 1
Ich habe raus:
y= [mm] \pm [/mm] C * [mm] e^{-\bruch{1}{cosx}}
[/mm]
und zum Schluß, mit y(0):
e=C
Kann das jemand verständlich vllcht. nochmal vorrechnen? Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!
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Hallo Jan!
Wenn das wirklich Deine Ergebnisse sind (die ich auch erhalten habe), solltest Du doch wissen, wie Du drauf gekommen bist. 
> Löse die Differentialgleichung:
> [mm]cos^{2}x*y'+sinx*y=0[/mm]
Umformung mit Trennung der Variablen liefert:
[mm] $\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\sin(x)}{\cos^2(x)}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\blue{\integral}{\bruch{dy}{y}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{-\sin(x)}{\cos^2(x)} \ dx}$
[/mm]
Das Integral auf der rechten Seite wird gelöst durch die Substitution $t \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] :
[mm] $\gdw$ $\blue{\integral}{\bruch{dy}{y}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{-\sin(x)}{t^2} \ \bruch{dt}{-\sin(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{1}{t^2} \ dt} [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \blue{\integral}{t^{-2} \ dt}$
[/mm]
Integration liefert dann:
[mm] $\ln|y| [/mm] \ = \ [mm] -t^{-1}+C^{\star} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{t}+C^{\star} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\cos(x)}+C^{\star}$
[/mm]
Durch Umformung (beide Seiten "e hoch") sowie Potenzgesetz und $C \ := \ [mm] e^{C^{\star}}$ [/mm] erhältst Du Deine genannte Lösung [mm]y=C *e^{-\bruch{1}{cosx}}[/mm] .
Durch Einsetzen des Wertes $x \ = \ 0$ ergibt sich dann auch $C \ = \ e$ .
Gruß vom
Roadrunner
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