Lösung der Gleichung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 14.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung
[mm] z^{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{27}
[/mm]
in kartesicher Form an |
Hallo,
mein Ansatz lautet wie folgt:
[mm] z^{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{27}
[/mm]
z3 = 1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) )
z = [mm] \wurzel[3]{1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) ) }
[/mm]
z = 1/3 * ( cos(60°) + i* sin(60°) )
Kann man das so machen ? Wie komme ich dann weiter ?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Mit der von dir genannten Formel
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $
komme ich dann auf folgende Lösungen:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*1
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i
[/mm]
[mm] z_{3} =\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i
[/mm]
Ist das so richtig, oder kann/muss ich noch etwas umschreiben ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 15.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Loddar,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Mit der von dir genannten Formel
>
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> komme ich dann auf folgende Lösungen:
>
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*1[/mm]
da fehlt ein Minuszeichen
>
> [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i[/mm]
da fehlen Klammern
>
> [mm]z_{3} =\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}*\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i[/mm]
[mm] z_3=z_2 [/mm] ??
fred
>
> Ist das so richtig, oder kann/muss ich noch etwas
> umschreiben ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 19.06.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred,
hier noch einmal meine korrigierten Lösungen:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)
[/mm]
Sind die Lösungen nun so in Ordnung?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 19.06.2016 | | Autor: | Herby |
Hallo Dom,
> Hallo fred,
>
> hier noch einmal meine korrigierten Lösungen:
>
> [mm]z_{1}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm] [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]z_{2}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm] [mm]\bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>
> [mm]z_{3}[/mm] [mm] =\red{-}[/mm] [mm]\bruch{1}{3} (-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>
> Sind die Lösungen nun so in Ordnung?
>
> Viele Grüße
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") - bis auf das Minus [mm] $('\red{-}'\ [/mm] nachtr"aglich\ eingef"ugt)$, welches vorher bereits erwähnt wurde!
Anm.: der Faktor [mm] \red{-}1/2 [/mm] ließe sich auch noch ausklammern, was zu
[mm] z_1=\red{-}\frac13
[/mm]
[mm] $z_2=\frac16*(1-\wurzel{3}\ [/mm] i)$
[mm] $z_2=\frac16*(1+\wurzel{3}\ [/mm] i)$
führen würde.
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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Die Aufgabe ist doch [mm] z^3 [/mm] = minus 1/27
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 So 19.06.2016 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Die Aufgabe ist doch [mm]z^3[/mm] = minus 1/27
ja, da hast du recht - hab's korrigiert.
Danke ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 16.06.2016 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dom!
Zur Frage der Vereinfachung:
[mm] $\wurzel[3]{\bruch{1}{27}}$ [/mm] lässt sich auch noch wunderbar vereinfachen!
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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