Lösung der Gleichung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 So 15.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] für die
[mm] z^{3} [/mm] = 8i
gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und Imaginärteil an |
Hallo,
ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!
[mm] z^{3} [/mm] = 8i
Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel" verwendet:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $
mit $ z \ = \ [mm] x+i\cdot{}y [/mm] $, $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ sowie $ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $
--------------------------
$ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel[3]{0^2+8^2} [/mm] = 4
$ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $ = [mm] \tan(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{8}{0} [/mm] = 0
[mm] \varphi=\arctan(0)= [/mm] 0
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $
Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)
[/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank! :)
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Hallo,
> Bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die
>
> [mm]z^{3}[/mm] = 8i
>
> gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und
> Imaginärteil an
> Hallo,
>
> ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!
>
> [mm]z^{3}[/mm] = 8i
>
> Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel"
> verwendet:
>
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> mit [mm]z \ = \ x+i\cdot{}y [/mm], [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> sowie [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm]
>
> --------------------------
>
> [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{0^2+8^2}[/mm] = 4
>
Nein, wieso soll da 4 herauskommen? Das ist r=8, siehe unten.
> [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm] = [mm]\tan(\varphi)[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{0}[/mm] = 0
>
> [mm]\varphi=\arctan(0)=[/mm] 0
???
>
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:
>
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{4}[/mm]
>
> [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>
> [mm]z_{3}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
Nein. Schon [mm] z_1 [/mm] ist falsch, denn es ist
[mm] \sqrt[3]{8}=2[/mm]
Weiter ist schlicht und ergreifend
[mm] \varphi=\frac{\pi}{2}[/mm]
also liegt (wenn man die übliche Nummerierung der Moivre-Formel zugrunde legt) [mm] z_1 [/mm] sicherlich auf keiner der Achsen, sondern es ist
[mm]z_1= \sqrt[3]{8}*\left ( cos\left ( \frac{\pi}{6}\right)-i*sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ) \right )=2*\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2} \right )[/mm]
Rechne damit die beiden anderen Lösungen nochmal nach.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich gilt $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $
Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!
Vielen Dank ;)
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Hallo,
> danke für die Antwort!
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> Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich
> gilt [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!
Also deine Version ist völlig falsch. Ich muss gestehen, dass ich ebenfalls geschlampt habe. Nennen wir R den Betrag der Zahl [mm] z^3, [/mm] so ist
[mm] R=\left|0+8i\right|=\sqrt{0^2+8^2}=8
[/mm]
Und für den Radius der Lösungen deiner Gleichung gilt dann natürlich
[mm] r=\wurzel[3]{R}=\wurzel[3]{8}=2
[/mm]
So klarer?
Gruß, Diophant
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