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Lösung der Kongruenz finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Mo 20.10.2014
Autor: evinda

Hallo!!!

Wenn man die Kongruenz 2x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod {5^n} [/mm] hat, dann kann man die Lösung finden, indem man die Formel [mm] x=\frac{5^n+1}{2} [/mm] benutzt.

Wenn man die Kongruenz ax [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod{ 5^n} [/mm] hat, kann man dann auch die Lösung von der Formel [mm] x=\frac{5^n+b}{a} [/mm] finden?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:35 Mo 20.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!!!
>  
> Wenn man die Kongruenz 2x [mm]\equiv[/mm] 1 [mm]\pmod {5^n}[/mm] hat, dann
> kann man die Lösung finden, indem man die Formel
> [mm]x=\frac{5^n+1}{2}[/mm] benutzt.

das habe ich nicht nachgeprüft.

> Wenn man die Kongruenz ax [mm]\equiv[/mm] b [mm]\pmod{ 5^n}[/mm] hat, kann
> man dann auch die Lösung von der Formel [mm]x=\frac{5^n+b}{a}[/mm]
> finden?

Woher kommt denn dieser Ansatz? Ich kenne folgendes:
Sei die Kongruenz

    $ax [mm] \equiv [/mm] b$ [mm] $\mod$ $n\,$ [/mm]

gegeben.

Diese ist dann und nur dann lösbar (in $x [mm] \in \IZ$), [/mm] wenn

    [mm] $\ggT(a,n)\;|\;b$ [/mm]

gilt.

Sei nun [mm] $d:=ggT(a,n)=\red{y}*a+z*n$ [/mm] mit $y,z [mm] \in \IZ,$ [/mm] eine solche Darstellung erhält man etwa
mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Dann ist, im Falle der Lösbarkeit,
obige Kongruenz äquivalent zu

    $x [mm] \equiv \red{\,y\,}*\frac{b}{d}$ $\mod \frac{n}{d}\,.$ [/mm]

Hier sieht man schonmal direkt schön, dass etwa im Falle, dass [mm] $a=5\,$ [/mm] ist, sicher
diese Kongruenz gar keine Lösung hat (denn [mm] $|\ggT(5,5^n)| \ge [/mm] 5$ zeigt, dass [mm] $\ggT(5,5^n) \nmid 1\,$). [/mm]

Bei der Kongruenz

    $2x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod 5^n$ [/mm]

sehe ich etwa:

    Im Falle [mm] $n=1\,$ [/mm] ist [mm] $1=\red{\,-2\,}*2+1*5\,.$ [/mm]

    Im Falle [mm] $n=2\,$ [/mm] ist [mm] $1=\red{\,-12\,}*2+1*5^2\,.$ [/mm]

    Im Falle [mm] $n=3\,$ [/mm] ist [mm] $1=\red{\,-62\,}*2+1*5^3\,.$ [/mm]

    Im Falle [mm] $n=4\,$ [/mm] ist [mm] $1=\red{\,-312\,}*2+1*5^4\,.$ [/mm]

    Im Falle [mm] $n=5\,$ [/mm] ist [mm] $1=\red{\,-1562\,}*2+1*5^4\,.$ [/mm]

Also ist dort wohl

    [mm] $y=y(n)=5*y(n-1)-2\,$ [/mm] mit [mm] $y(1)=-2\,,$ [/mm]

was sich wohl induktiv zeigen lassen wird.

Daher ist die Ausgangskongruenz äquivalent zu

    $x [mm] \equiv y(n)*\frac{1}{1} \mod \frac{5^n}{1}\,.$ [/mm]

Um Deine Formel zu beweisen, sollte man nun

    [mm] $\frac{5^n+1}{2} \equiv [/mm]  y(n) [mm] \mod 5^n$ [/mm]

beweisen. Für [mm] $n=1\,$ [/mm] steht da

    $3 [mm] \equiv [/mm] -2 [mm] \mod 5\,,$ [/mm]

passt also.

Für [mm] $n=2\,$ [/mm] steht da

    $13 [mm] \equiv [/mm] -12 [mm] \mod 25\,.$ [/mm]

Für [mm] $n=3\,$ [/mm] steht da

    [mm] $\frac{5^3+1}{2}=63 \equiv -62\mod 125\,.$ [/mm]

Eventuell kann man ja induktiv etwa

    [mm] $5^n=\frac{5^n+1}{2}-y(n)$ [/mm]

beweisen.

Z.B. haben wir oben ja auch [mm] $y(5)=-1562\,$ [/mm] ausgerechnet, und in der Tat gilt
einerseits

    [mm] $\frac{5^5+1}{2}+1562=3125\,,$ [/mm]

sowie andererseits

    [mm] $5^5=3125\,.$ [/mm]

Nebenbei: Dass [mm] $2*\frac{5^n+1}{2} \equiv [/mm] 1 [mm] \mod 5^n$ [/mm] gilt, ist natürlich eine
Trivialität, weil [mm] $2*\frac{5^n+1}{2}=5^n+1\,.$ [/mm] Es fehlt aber durchaus noch eine
Begründung, warum man mit [mm] $\IL=\left[\frac{5^n+1}{2}\right]_5$ [/mm] auch die ganze
Lösungsmenge von

    $2x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod 5^n$ [/mm]

gefunden hat. Mit obigem Satz folgt das, wenn Du die angesprochene
Kongruenz

    [mm] $\frac{5^n+1}{2} \equiv [/mm] y(n) [mm] \mod 5^n$ [/mm]

beweist - und natürlich zuvor die Formel für [mm] $y(n)\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mo 20.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!!!
>  
> Wenn man die Kongruenz 2x [mm]\equiv[/mm] 1 [mm]\pmod {5^n}[/mm] hat, dann
> kann man die Lösung finden, indem man die Formel
> [mm]x=\frac{5^n+1}{2}[/mm] benutzt.
>  
> Wenn man die Kongruenz ax [mm]\equiv[/mm] b [mm]\pmod{ 5^n}[/mm] hat, kann
> man dann auch die Lösung von der Formel [mm]x=\frac{5^n+b}{a}[/mm]
> finden?

nochmal in einem etwas wacheren Zustand von mir:

Für

    $ax [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod 5^n$ [/mm]

ist natürlich

    [mm] $x=\frac{5^n+b}{a}$ [/mm]

jedenfalls dann eine Lösung, wenn [mm] $\frac{5^n+b}{a} \in \IZ\,.$ [/mm]

Das folgt ja sofort durch einsetzen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Di 21.10.2014
Autor: evinda

Also wenn man die Kongruenz 8x [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod {5^2} [/mm] lösen will, weiß man dass die Lösung die folgende ist?

[mm] x=\frac{5^2+3}{8}=\frac{28}{8} \notin \mathbb{Z} [/mm]

Falls ja, heißt das,dass die Kongruenz keine Lösung hat?



Bezug
                        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Di 21.10.2014
Autor: angela.h.b.


> Also wenn man die Kongruenz 8x [mm]\equiv[/mm] 3 [mm]\pmod {5^2}[/mm] lösen
> will, weiß man dass die Lösung die folgende ist?

>

> [mm]x=\frac{5^2+3}{8}=\frac{28}{8} \notin \mathbb{Z}[/mm]

>

> Falls ja, heißt das,dass die Kongruenz keine Lösung hat?


Hallo,

nein, das heißt es nicht.

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus findest Du ganze Zahlen a und b so, daß 1=a*8+b*25.
Es ist 1=-3*8+1*25

Wir haben also 1=-3*8 (mod 25),
also ist 3=-9*8 (mod 25),

damit haben wir: alle ganzen Zahlen x mit
[mm] x\equiv [/mm] -9=16 (mod 25) lösen die Gleichung.

LG Angela









>
>

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Di 21.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Also wenn man die Kongruenz 8x [mm]\equiv[/mm] 3 [mm]\pmod {5^2}[/mm] lösen
> will, weiß man dass die Lösung die folgende ist?
>  
> [mm]x=\frac{5^2+3}{8}=\frac{28}{8} \notin \mathbb{Z}[/mm]
>  
> Falls ja, heißt das,dass die Kongruenz keine Lösung hat?

wie Angela schon sagte: Nö.

Schau' in den von mir erwähnten Satz:
Weil [mm] $\ggT(8,3)=1\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $25\,$ [/mm] ist, ist diese Kongruenz lösbar...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Mi 22.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

nur nochmal nebenbei:

> Also wenn man die Kongruenz 8x [mm]\equiv[/mm] 3 [mm]\pmod {5^2}[/mm] lösen
> will, weiß man dass die Lösung die folgende ist?
>  
> [mm]x=\frac{5^2+3}{8}=\frac{28}{8} \notin \mathbb{Z}[/mm]
>  
> Falls ja, heißt das,dass die Kongruenz keine Lösung hat?

ich hatte gesagt:

> Für

>     $ ax [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod 5^n [/mm] $

> ist natürlich

>     $ [mm] x=\frac{5^n+b}{a} [/mm] $

> eine Lösung, falls [mm] $\frac{5^n+b}{a} \in \IZ\,.$ [/mm]

D.h.:

    [mm] $x_0:=\frac{5^n+b}{a} \in \IZ$ [/mm]

    [mm] $\Rightarrow$ $x_0$ [/mm] ist Lösung von $ax [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod 5^n\,.$ [/mm]

Wenn eine Folgerung

    $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$

gilt, dann gilt natürlich keineswegs zugleich

    [mm] $\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg B\,,$ [/mm]

sondern nur (in äquivalenter Weise)

    [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg A\,.$ [/mm]
(Kontraposition!)

Anders gesagt: Ich hätte oben in gleichwertiger Weise nur sagen können:
Wenn gilt, dass

    [mm] $x_0=\frac{5^2+3}{8}$ [/mm] keine Lösung von $8x [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \mod [/mm] 25$

ist, dann gilt auch

    [mm] $x_0=\frac{5^2+3}{8}\red{\,\notin\;\IZ}\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Mi 22.10.2014
Autor: leduart

Hallo
durch 8 (oder eine andere Zahl zu dividieren macht in  mod Rechnungen keinen Sinn, es sei denn, du interpretierst als 1/8 das multiplikative Inverse zu 8  und das ist -3 oder 22.
also steht da [mm] (5^2+3)*22 [/mm] oder *(-3)
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Lösung der Kongruenz finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:38 Mi 22.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo
>  durch 8 (oder eine andere Zahl zu dividieren macht in  mod
> Rechnungen keinen Sinn, es sei denn, du interpretierst als
> 1/8 das multiplikative Inverse zu 8  und das ist -3 oder
> 22.

ne, da war sicher mit

    [mm] $\frac{5^n+b}{a}$ [/mm]

der Bruch in [mm] $\IR$ [/mm] gemeint. Und das macht bedingt durchaus Sinn. Falls
dieser Bruch auch in [mm] $\IZ$ [/mm] ist, kennen wir eine Lösung (in [mm] $\IZ$), [/mm] und dann können
wir gucken, zu welcher Äquivalenzklasse mod [mm] $5^n$ [/mm] diese gehört.

Für [mm] $a=2\,$ [/mm] und [mm] $b=1\,$ [/mm] habe ich das doch

    hier (klick!)

gemacht.

Aber Deine Andeutung ist auch gut, denn damit kann man sich vielleicht
auf anderem Wege erklären, wann

    $ax [mm] \equiv [/mm] b$ [mm] $\mod [/mm] n$

lösbar ist und wann nicht (Existenz eines "multiplikativ inversen" von ... in [mm] $\IZ/n\IZ$...) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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