Lösung der Normalengleichung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:20 Fr 07.06.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Gegeben ist die Normalengleichung [mm] Bx=\tilde{b} [/mm] eines linearen Ausgleichsproblems mit
[mm] B=\pmat{ \wurzel{2} & 2\wurzel{2} & 0 \\ \wurzel{2} & 2\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 4 }, \tilde{b}=\vektor{\frac{1}{\wurzel{2}} \\ \frac{1}{\wurzel{2}} \\ 4 }.
[/mm]
Bestimmen Sie die zugehörige Optimallösung. |
Hallo.
Im Grunde geht es mir nur um das richtige Aufstellen der Matrizen für die QR-Zerlegung der Matrix B, die nicht vollen Rang hat. Die Matrix Q berechnet man mit Gram-Schmidt angewandt auf die Spaltenvektoren von B. Problem hierbei ist, dass einer der berechneten Spaltenvektoren von Q der Nullvektor ist (wegen linearer Abhängigkeit). Beim Normieren teilt man also durch Null. Dies haben wir als Signal zur "Aussortierung" festgehalten. Das heisst, wir "schmeissen den Vektor nach hinten". Was genau das bedeutet, weiss ich leider nicht ... Ich vermute, das bedeutet, dass dieser Nullvektor nach ganz hinten in Q gestellt wird, allerdings ist Q dann nicht mehr orthogonal. Ob man dann einen Ersatz finden soll, einen zu den vorigen orthogonalen Vektor? Wie? Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
Ich rechne mal bis zu dem Punkt an dem ich stocke: Seien [mm] b_i [/mm] bzw. [mm] q_i [/mm] die Spaltenvektoren von B bzw. Q. Gram-Schmidt angewandt auf die [mm] b_i:
[/mm]
[mm] q_1=\frac{b_1}{||b_1||}=\frac{1}{2}\vektor{\wurzel{2} \\ \wurzel{2} \\ 0 }.
[/mm]
[mm] \tilde{q_2}=b_2-q_1=\vec{0}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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