Lösung einer DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 17.12.2008 | | Autor: | schickme |
| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenige Lösung von Y'(t)=A(t)Y(t) mit
[mm] \pmat{ 3e^{-t} & 2 \\ 0 & -1 }
[/mm]
und [mm] Y(0)=\pmat{ -1 \\ 5}. [/mm] |
Hallo zusammen.
Aaaalso:
obige Aufgabe habe ich jetzt bereits auf zwei Wege versucht:
1.
[mm] \pmat{y'_{1} \\ y'_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 3e^{-t} & 2 \\ 0 & -1 } \pmat{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
Das führte mich auf die Gleichungen:
y'_{1}= [mm] 3e^{-t} y_{1} [/mm] + 2 [mm] y_{2}
[/mm]
y'_{2}= 0 - [mm] y_{2}
[/mm]
dann hab ich gemacht:
y'_2= [mm] e^{-t}
[/mm]
das bringt mich zu:
y'_1= [mm] e^{-t} [/mm] (3 [mm] y_{1}+2)
[/mm]
Das habe ich jetzt auf die Form
[mm] y'_{1}=\bruch{g(t)}{h(t)} [/mm] = [mm] \bruch {e^{-t}}{\bruch{1}{3 y_1+2}} [/mm]
gebracht.
Leider komme ich damit nicht zum rechten Ergebnis :-(
2. Ansatz:
ich bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A und setze die Form:
y(t)=a [mm] e^{\lambda_1 t} v_1 [/mm] + b [mm] e^{\lambda_2 t} v_2
[/mm]
mit [mm] v_1= [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] v_2= [/mm] Eigenvektor zu [mm] \lambda_2
[/mm]
Auch damit komme ich nicht zum richtigen Ergebnis. Wahrscheinlich, weil die Einträge der Matrix A nicht skalarwertig sind oder?
Mit richtigem Ergebnis meine ich übrigens, dass ich zwar etwas erhalte, dies entweder aber nicht zum AWP passt oder nicht zur DGL :-(
Ein Lösungsansatz würde mir vorerst helfen... würd's schon gerne "selber" schaffen! Aber irgendwie bin ich noch nicht in der Denkweise drin.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
LG schickme
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimmen Sie diejenige Lösung von Y'(t)=A(t)Y(t) mit
> [mm]\pmat{ 3e^{-t} & 2 \\ 0 & -1 }[/mm]
> und [mm]Y(0)=\pmat{ -1 \\ 5}.[/mm]
>
> Hallo zusammen.
>
> Aaaalso:
> obige Aufgabe habe ich jetzt bereits auf zwei Wege
> versucht:
> 1.
> [mm]\pmat{y'_{1} \\ y'_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ 3e^{-t} & 2 \\ 0 & -1 } \pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> Das führte mich auf die Gleichungen:
> y'_{1}= [mm]3e^{-t} y_{1}[/mm] + 2 [mm]y_{2}[/mm]
> y'_{2}= 0 - [mm]y_{2}[/mm]
soweit richtig.
> dann hab ich gemacht:
> y'_2= [mm]e^{-t}[/mm]
das ist falsch, denn z. Bsp ist y2(0)=1 nicht 5
also allgemein: [mm] y2=A*e^{-t} [/mm] und A=5 aus der Anfangsbed.
> das bringt mich zu:
> y'_1= [mm]e^{-t}[/mm] (3 [mm]y_{1}+2)[/mm]
so falsch, da fehlt y2
y'_1= [mm][mm] e^{-t}*(3*y_1+2*5 [/mm] )
das lösest du mit Trennung der Variablen also durch die Klammer teilen
das folgende versteh ich überhaupt nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | schickme |
Hallo leduart, vielen Dank für deine Antwort!
Okay, also ich habe jetzt oben besprochenen Ansatz genommen und komme auf:
[mm] y'_1=e^{-t} [/mm] (3 [mm] y_1 [/mm] + 10)
wenn ich jetzt Trennung der Variablen mache führt mich das zu:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(3 y_1 + 10)} dy_1} [/mm] = [mm] \integral_{c}^{d}{e^{-t} dt}
[/mm]
also:
[mm] \left[ ln\left| 3 y_1 +10 \right| \right]_{a}^{b} [/mm] = [mm] \left[ -e^{-t} \right]_{c}^{d}
[/mm]
was setze ich jetzt für die Grenzen ein? a,b=??? [mm] c=t_0=0 [/mm] und d=t ?
Wie mache ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Grenzen: entweder keine, einfach Stammfkt, Konstante nicht vergessen. dann Konstante aus dem Anfangswert bestimmen. oder die Grenzen von 0 bis t, dabei y1(0) verwenden.
Dass auf beiden Seiten verschieden Grenzen sthen ist sicher ziemlich unsinnig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 17.12.2008 | | Autor: | schickme |
okay, hab noch einen weiteren Schritt entdeckt:
ich setze für die Grenzen ein: [mm] a=y_1(0)=-1 [/mm] und [mm] b=y_1, [/mm] sowie [mm] c=t_0=0 [/mm] und [mm]d=t[/mm]
dann erhalte ich:
[mm]-e^{-t}+1=ln \left| 3y_1+10 \right| - ln (7)[/mm]
Umformen und Auflösen nach [mm] y_1 [/mm] bringt mich zu der Lösung:
[mm]y_1= \bruch{7}{3} \cdot e^{1-e^{-t}}- \bruch{10}{3}[/mm]
stimmt das soweit?
Kann man diesen [mm] e^{1-e^{-t}} [/mm] Ausdruck noch vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Integral ist falsch! differenzier mal, dann siehst dus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 17.12.2008 | | Autor: | schickme |
> Hallo
> Dein Integral ist falsch! differenzier mal, dann siehst
> dus!
> Gruss leduart
Differenzialgleichungen = *argh* :-(
also, wenn ich das Integral bilde, ist [mm] y_1 [/mm] dann als Fkt zu berücksichtigen (also [mm] y_1(t)) [/mm] oder als eine Art Variable die nicht differenziert wird? Soll heißen: muss ich dort auf etwaige innere Ableitungen achten oder nicht?
Wenn nicht, wäre dann die Integration so?:
[mm] \integral_{y_1(0)=-1}^{y_1}{\bruch{1}{3 y+10} dy} [/mm] = [mm] \integral_{t_0=0}^{t}{e^{-s} ds} \qquad \Rightarrow \left[ \bruch{1}{3} ln \left|3 y_1+10 \right| \right]_{-1}^{y_1} [/mm] = [mm] \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{t}
[/mm]
Hoffentlich steig ich da bald durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 17.12.2008 | | Autor: | schickme |
Hallo leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe!!!
Ich glaube, so langsam komm ich in die Thematik hinein!
Du hast mir echt sehr geholfen.
Schönen Abend noch.
schickme
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