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Lösung einer Gleichung: Polarkoordinaten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Sa 11.05.2013
Autor: poeddl

Aufgabe
Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, welche [mm] z^{3}=-8i [/mm] erfüllen.
Geben Sie die Lösung in Polarkoordinaten an.

Hallo,

ich habe bei der obigen Aufgabe Probleme und weiß nicht, was an meiner Rechnung falsch ist.

Hier mein Ansatz:

Polarform: [mm] z=8(cos(\bruch{-\pi}{2})+ [/mm] i* sin [mm] (\bruch{-\pi}{2})) [/mm]
(Der Winkel ist ja so definiert, da x=0 und y < 0 für z=x+iy aus der Aufgabenstellung).

Da fängt es schon mal an, in der Lösung steht als Polarform folgendes:
[mm] z=8(cos(\bruch{3\pi}{2})+ [/mm] i* sin [mm] (\bruch{3\pi}{2})) [/mm]
Das wird aber vermutlich nur daran liegen, dass einfach [mm] 2\pi [/mm] draufaddiert wurden, also sollte meine Form auch richtig sein oder?

Weiter geht es dann mit der Bestimmung der Lösungen, was ich mit folgendem Ansatz gemacht habe:

[mm] z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma}{n}})+ [/mm] i* sin [mm] ({\bruch{\gamma}{n}})) [/mm]

[mm] z_{1}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}})+ [/mm] i* sin [mm] ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}})) [/mm]

usw.

Meine Lösungen lauten dann folgendermassen:

[mm] z_{0}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{-\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{-\pi}{6})) [/mm]
[mm] z_{1}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{3\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{3\pi}{6})) [/mm]
[mm] z_{2}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{7\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{7\pi}{6})) [/mm]

In der Lösung sind die Winkel aber die folgenden:
[mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{7\pi}{6}, \bruch{11\pi}{6} [/mm]
Es beginnt also mit meinem [mm] z_{1} [/mm] und endet mit meinem (theoretischen) [mm] z_{3}... [/mm] (hoffe, das ist verständlich, was ich meine?)

Wer kann mir sagen, wo ich mich verrechnet habe, bzw. was ich falsch mache?

Vielen Dank vorab!

poeddl

        
Bezug
Lösung einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Sa 11.05.2013
Autor: MathePower

Hallo poeddl,

> Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, welche [mm]z^{3}=-8i[/mm]
> erfüllen.
>  Geben Sie die Lösung in Polarkoordinaten an.
>  Hallo,
>  
> ich habe bei der obigen Aufgabe Probleme und weiß nicht,
> was an meiner Rechnung falsch ist.
>  
> Hier mein Ansatz:
>  
> Polarform: [mm]z=8(cos(\bruch{-\pi}{2})+[/mm] i* sin
> [mm](\bruch{-\pi}{2}))[/mm]
>  (Der Winkel ist ja so definiert, da x=0 und y < 0 für
> z=x+iy aus der Aufgabenstellung).
>  
> Da fängt es schon mal an, in der Lösung steht als
> Polarform folgendes:
>  [mm]z=8(cos(\bruch{3\pi}{2})+[/mm] i* sin [mm](\bruch{3\pi}{2}))[/mm]
>  Das wird aber vermutlich nur daran liegen, dass einfach
> [mm]2\pi[/mm] draufaddiert wurden, also sollte meine Form auch
> richtig sein oder?
>  
> Weiter geht es dann mit der Bestimmung der Lösungen, was
> ich mit folgendem Ansatz gemacht habe:
>  
> [mm]z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma}{n}})+[/mm] i* sin
> [mm]({\bruch{\gamma}{n}}))[/mm]
>  
> [mm]z_{1}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}})+[/mm]
> i* sin [mm]({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}}))[/mm]
>  
> usw.
>  
> Meine Lösungen lauten dann folgendermassen:
>  
> [mm]z_{0}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{-\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{-\pi}{6}))[/mm]
>  [mm]z_{1}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{3\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{3\pi}{6}))[/mm]
>  [mm]z_{2}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{7\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{7\pi}{6}))[/mm]
>  
> In der Lösung sind die Winkel aber die folgenden:
>  [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{7\pi}{6}, \bruch{11\pi}{6}[/mm]
>  Es
> beginnt also mit meinem [mm]z_{1}[/mm] und endet mit meinem
> (theoretischen) [mm]z_{3}...[/mm] (hoffe, das ist verständlich, was
> ich meine?)
>  
> Wer kann mir sagen, wo ich mich verrechnet habe, bzw. was
> ich falsch mache?
>  


Die Polarform wurde so angegeben:

[mm]8(cos(\bruch{\blue{3}\pi}{2})+ i* sin\left(\bruch{\blue{3}\pi}{2}\right)[/mm]

Kurzum, es wurde ein positver Winkel verwendet.

Diese Form ist auch richtig, da die trigonometrischen Funktionen
periodisch mir der Periode [mm]2\pi[/mm] sind.


> Vielen Dank vorab!
>  
> poeddl


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösung einer Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Sa 11.05.2013
Autor: poeddl

Ok, also meine Polarform ist demnach richtig?
Aber das mit den Winkeln verstehe ich nicht, also den Lösungen der Gleichung...
Woran liegt das? Bzw. ist meine Lösung dann auch richtig?

Bezug
                        
Bezug
Lösung einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 11.05.2013
Autor: MathePower

Hallo poeddl,

> Ok, also meine Polarform ist demnach richtig?


Ja.


>  Aber das mit den Winkeln verstehe ich nicht, also den
> Lösungen der Gleichung...
>  Woran liegt das? Bzw. ist meine Lösung dann auch richtig?


Das liegt an der Peiodizität von Sinus und Cosinus.

Der positive Winkel zu [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] ist

[mm]-\bruch{\pi}{2}+2\pi=\bruch{3\pi}{2}[/mm]

Genauso gut hättest Du die Polarform mit

[mm]-\bruch{\pi}{2}+2*2\pi=\bruch{7\pi}{2}[/mm]

angegeben können.

Deine Lösung ist auch richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lösung einer Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Sa 11.05.2013
Autor: poeddl

Vielen Dank für deine Antwort!
Habs mir mal aufgezeichnet im Einheitskreis, ergibt sogar Sinn :D
Hätte ich auch von selbst drauf kommen können...

Bezug
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