Lösung einer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 26.06.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Sei [mm] z_{0}=2+i [/mm] eine Lösung der komplexen Gleichung [mm] z^{4}=-7+24i.
[/mm]
Bestimmen Sie die weiteren Lösungen der Gleichung. |
Hallo,
ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Klar ist, dass es vier Lösungen geben muss. Wie lauten diese nun aber?
Ich könnte z in die Polarform bringen, denke allerdings, dass das auch einfacher gehen müsste – nur wie?
|
|
| |
|
Hallo poeddl,
> Sei [mm]z_{0}=2+i[/mm] eine Lösung der komplexen Gleichung
> [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]
> Bestimmen Sie die weiteren Lösungen der Gleichung.
Die Formulierung Sei [mm] z_0 [/mm] eine Lösung ist schon zum Schmunzeln. Es ist eine Lösung, da braucht man keinen Konjunktiv. 
Ich bin jetzt nicht mehr zum Durchrechnen gekommen und werde daher auf teilweise beantwortet stellen. Aber vermutlich ist es angedacht, das Ganze über den Anastz
[mm] (x+iy)^4=7+24i
[/mm]
sowie einen Koeffizientenvergleich zu bearbeiten. Das führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem für x und y, und da könnte man sich vorstellen, dass die Kenntnis einer Lösung hilfreich ist...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Hallo poeddl,
>
> > Sei [mm]z_{0}=2+i[/mm] eine Lösung der komplexen Gleichung
> > [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]
> > Bestimmen Sie die weiteren Lösungen der Gleichung.
>
> Die Formulierung Sei [mm]z_0[/mm] eine Lösung ist schon zum
> Schmunzeln. Es ist eine Lösung, da braucht man keinen
> Konjunktiv. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
So ?
Ich denke, da braucht man sogar etwas stärkeres als einen
bloßen Konjunktiv !
Nach meiner Rechnung ergibt sich nämlich:
$\ [mm] z_0^4\ [/mm] =\ [mm] (2+i)^4\ [/mm] =\ [mm] -7+24\,i$
[/mm]
also nicht [mm] 7+24\,i [/mm] .....
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> > > Hallo poeddl,
> > >
> > > > Sei [mm]z_{0}=2+i[/mm] eine Lösung der komplexen Gleichung
> > > > [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]
> > > > Bestimmen Sie die weiteren Lösungen der
> Gleichung.
> > >
> > > Die Formulierung Sei [mm]z_0[/mm] eine Lösung ist schon zum
> > > Schmunzeln. Es ist eine Lösung, da braucht man keinen
> > > Konjunktiv.
> >
> >
> > So ?
> >
> > Ich denke, da braucht man sogar etwas stärkeres als einen
> > bloßen Konjunktiv !
> >
> > Nach meiner Rechnung ergibt sich nämlich:
> >
> > [mm]\ z_0^4\ =\ (2+i)^4\ =\ -7+24\,i[/mm]
> >
> > also nicht [mm]7+24\,i[/mm] .....
>
> das ist nur ein "objektiver" Fehler:
> Der Quelltext bzgl. [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm] sieht so aus:
>
> [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]
>
> Da hat halt jemand das "falsche" Minuszeichen benutzt!
>
> Gruß,
> Marcel
Guten Tag Marcel,
wieder diese doofen Sonderzeichen von Tastaturen.
Ich würde aber trotzdem darauf bestehen, dass hier als
"geltende" Form das zählen sollte, was in der Vorschau
und im vom Leser sichtbaren Text erscheint, und nicht das,
was allenfalls erst im Quelltext zu finden ist !
LG , Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 26.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]z_{0}=2+i[/mm]
wie Diophant schon sagte: Man kann einfach durch einsetzen gucken,
ob es eine Lösung ist. Entweder ist es doch eine oder eben nicht!
> eine Lösung der komplexen Gleichung
> [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]
Also [mm]z^{4}=−7+24i.[/mm]:
Da steht
[mm] $z^{4}=\red{\;\text{--}\;}7+24i\,,$
[/mm]
Wenn Du das "richtige" Minuszeichen benutzt, sieht man das auch:
[mm]z^{4}=-7+24i.[/mm]
> Bestimmen Sie die weiteren Lösungen der Gleichung.
> Hallo,
> ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll.
> Klar ist, dass es vier Lösungen geben muss. Wie lauten
> diese nun aber?
ich würde es so machen:
[mm] $z_0=2+i$
[/mm]
liefert
[mm] ${z_0}^4=(4+4i-1)^2=(3+4i)^2=9-16+24i=-7+24i\,.$
[/mm]
Offenbar gilt [mm] $|z_0|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\,.$
[/mm]
Für jede Lösung [mm] $z_j=x_j+iy_j$ [/mm] von [mm] $z^4=-7+24i$ [/mm] gilt
[mm] $|z_j|^4=|-7+24i|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\,,$
[/mm]
also
[mm] $|z_j|=\sqrt{\sqrt{25}}=\sqrt{5}\,.$
[/mm]
Damit gilt
[mm] $\frac{z_j}{\sqrt{5}}=e^{i4\phi_j}$
[/mm]
mit geeigneten [mm] $\phi_j \in [0,2\pi)\,,$ [/mm] wobei [mm] $\phi_1:=\text{atan}(2)\,.$ [/mm] Wie berechnest Du wohl nun die
anderen drei [mm] $\phi_j$ [/mm] und damit
[mm] $z_j=\sqrt{5}\,*\,(\cos(\phi_j)+i\,\sin(\phi_j))$ [/mm] für [mm] $j=2,\,3,\,4$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 26.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn z eine Lösung ist, dann auch -z Lösung, was machst du im reellen wenn du 2 Lösungen für Nst eines Polynoms 4 ten Grades hast?
oder wenn du eine Lösung hast, dann kannst du weitere erreichen indem du den Betrag gleich lässt und den Winkel um [mm] 2\pi/4 [/mm] vergrößerst oder verkleinerst
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mi 26.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Leduarts Idee ist mir eben auch noch eingefallen:
Wenn [mm] $2+i\,$ [/mm] eine Lösung von [mm] $z^4=-7+24\,i$ [/mm] ist, dann ist auch [mm] $-2-i\,$ [/mm] eine Lösung dieser Gleichung...
Jetzt kann man sich auch erstmal überlegen:
Für welche [mm] $a+b\,i,\;x+y\,i \in \IC$ [/mm] gilt denn
[mm] $$(a+b\,i)^2=-7+24\,i$$
[/mm]
und
[mm] $$(x+y\,i)^2=-7+24\,i\,.$$
[/mm]
Überlege Dir, wie das zum Ziel führt...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 26.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten und sorry für den Fehler mit dem Minus im Anfangsbeitrag!
Mir ist leider gerade nicht klar, warum auch [mm] -z_{0} [/mm] eine Lösung ist. Einfach nur, weil [mm] -1^{4}=1 [/mm] gilt? Sprich bei einem ungeraden Grad wäre das nicht der Fall?
Um das mal herunterzubrechen also wie hier: [mm] x^{2}-1=0 \Rightarrow x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=-1
[/mm]
Wie ich die anderen beiden Lösungen finde weiss ich allerdings nicht.
So ins Blaue geraten hat es bestimmt was mit i zu tun...
Danke erstmal für eure Antworten, vielleicht könnt ihr mir beim letzten Problem ja auch noch helfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 26.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für eure Antworten und sorry für den Fehler
> mit dem Minus im Anfangsbeitrag!
>
> Mir ist leider gerade nicht klar, warum auch [mm]-z_{0}[/mm] eine
> Lösung ist. Einfach nur, weil [mm]-1^{4}=1[/mm] gilt?
Du meinst [mm] $\red{\;(\;}-1\red{\;)\;}^4=1\,.$
[/mm]
> Sprich bei einem ungeraden Grad wäre das nicht der Fall?
Ja. Überlege doch mal: Sei [mm] $z_0$ [/mm] Lösung von [mm] $z^4=-7+24\,i\,.$ [/mm] Dann folgt auch
[mm] $$(-z_0)^4=(-1)^4*{z_0}^4={z_0}^4=-7+24\,i\,.$$
[/mm]
> Um das mal herunterzubrechen also wie hier: [mm]x^{2}-1=0 \Rightarrow x_{1}=1[/mm]
> und [mm]x_{2}=-1[/mm]
Da kannst Du auch [mm] $x^2=1 \iff [/mm] x [mm] \in \{\pm 1\}$ [/mm] schreiben.
> Wie ich die anderen beiden Lösungen finde weiss ich
> allerdings nicht.
Na, wenn Du nicht mit Winkeln und/oder der ![[]](/images/popup.gif) Eulerschen Formel
arbeiten willst, dann mach' es so, wie ich es angedeutet habe:
Löse erstmal [mm] $(a+b\,i)^2=-7+24\,i\,.$ [/mm] Wenn Du das getan hast, dann wirst Du sehen,
dass [mm] $a+b\,i \in \{\pm(3+4\,i)\}$ [/mm] alle Lösungen sind.
(Warnung: Die folgenden Variablennamen [mm] $x,y\,$ [/mm] haben eine andere Bedeutung
wie in meiner Mitteilung - sie passen eher zu Diophants Antwort).
Danach löse noch die durch die zwei Gleichungen
[mm] $$(x+y\,i)^2=3+4\,i$$
[/mm]
und
[mm] $$(x+y\,i)^2=-3-4\,i$$
[/mm]
gegebenen Gleichungssysteme.
Wobei Du, wenn Du Dir die Vorüberlegungen anguckst, merken solltest,
dass Du nur noch das durch die letzte Gleichung gegebenen Gleichungssystem
in zwei Gleichungen in den Variablen [mm] $x,y\,$ [/mm] zu lösen brauchst! Im Prinzip
kann man hier auch auf die Vorgabe einer Lösung verzichten, denn das
durch die erste Gleichung gegebene Gleichungssystem kann man auch
durch einfache Rechnerei lösen:
[mm] $$(x+y\,i)^2=3+4\,i \iff x^2-y^2=3 \wedge xy=2\,.$$
[/mm]
Mit $x=2/y$ (es muss $y [mm] \not=0$ [/mm] sein: warum?) folgt
[mm] $$2^2/y^2-y^2=3 \iff (y^2)^2+3y^2-4=0\,,$$
[/mm]
also [mm] ${y_{1,2}}^2=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{9/4+4}=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\,.$
[/mm]
Damit muss [mm] ${y_{1,2}}^2=1\,,$ [/mm] also [mm] $y_1=1$ [/mm] und [mm] $y_2=-1$ [/mm] sein. Entsprechend erhält
man daraus [mm] $x_1=2/y_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=2/y_2=-2\,.$
[/mm]
Also:
[mm] $$\{\pm(2+1\,i)\}$$
[/mm]
ist die (vollständige) Lösungsmenge der ersten Gleichung.
Deine Aufgabe: Berechne die der zweiten Gleichung. Im Prinzip brauchst
Du dort auch nur eine Lösung zu berechnen, die zweite ist dann einfach
das negative der ersten Lösung!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:16 Do 27.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Mir ist leider gerade nicht klar, warum auch [mm]-z_{0}[/mm] eine
> Lösung ist. Einfach nur, weil [mm]-1^{4}=1[/mm] gilt?
Ja, genau.
Und weil auch [mm] i^4 [/mm] = 1 (und [mm] (-i)^4 [/mm] = 1) ist, ist [mm] i*z_0 [/mm] (und auch [mm] -i*z_0) [/mm] ebenfalls eine Lösung der Gleichung.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 27.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
>
> > Mir ist leider gerade nicht klar, warum auch [mm]-z_{0}[/mm] eine
> > Lösung ist. Einfach nur, weil [mm]-1^{4}=1[/mm] gilt?
>
> Ja, genau.
nein: [mm] $-1^4=-(1^4)=-1\not=\red{\;(\;}-1\red{\;)\;}^4\,.$ [/mm] Darauf habe ich aber auch schon
hingewiesen, dass sicher [mm] $(-1)^4=1$ [/mm] gemeint war.
> Und weil auch [mm]i^4[/mm] = 1 (und [mm](-i)^4[/mm] = 1) ist, ist [mm]i*z_0[/mm]
> (und auch [mm]-i*z_0)[/mm] ebenfalls eine Lösung der Gleichung.
Ah, jetzt haben wir die ganze Eleganz:
Wir kennen eine Lösung [mm] $z_0\,.$ [/mm] Dann kennen wir auch alle Lösungen:
[mm] $$\{z_0,\;-\,z_0,\;iz_0,\;-\,i\,z_0\}\,.$$
[/mm]
Darauf hätte man auch selbst kommen können, dass wir nur die [mm] $4\,$-ten [/mm] Wurzeln
von [mm] $\text{+}1\,$ [/mm] ausrechnen brauchen...
Sehr schöner Hinweis.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 27.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Leute ihr seid echt spitze!
Ihr habt mir wieder mal geholfen.
Vielen, vielen Dank! :)
|
|
|
|
