Lösung einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen sie die Ungleichung für a,b>0, u,v [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] -au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le0 [/mm] |
Hallo,
meine Frage bezieht sich auf folgendes:
habe das hierzu umgeformt:
[mm] 4au^{2}v^{2} \le au^{4}+2bv^{4}
[/mm]
Nun wollte ich fragen ob es eine abschätzung gibt welche besagt, dass
[mm] u\*v \le u^{2} [/mm] + [mm] v^{2}?
[/mm]
Dann könnte ich b in Abhängigkeit von a wählen. Oder muss ich hier noch zwischen [mm] \{u,v | |u,v|<1 \} [/mm] und [mm] \{u,v | |u,v|>1 \} [/mm] unterscheiden?
Danke euch.
Thomas
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Hallo Thomas,
das sieht furchterregender aus, als es ist.
> Lösen sie die Ungleichung für a,b>0, u,v [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]-au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le0[/mm]
> Hallo,
>
> meine Frage bezieht sich auf folgendes:
>
> habe das hierzu umgeformt:
> [mm]4au^{2}v^{2} \le au^{4}+2bv^{4}[/mm]
Das schadet nicht, aber so richtig zielführend ist es auch nicht.
> Nun wollte ich fragen ob es eine abschätzung gibt welche
> besagt, dass
>
> [mm]u\*v \le u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}?[/mm]
Gibt es, aber auch da machst Du Dich auf einen längeren Weg als nötig, weil Du damit ja auch noch nicht fertig bist.
> Dann könnte ich b in Abhängigkeit von a wählen. Oder
> muss ich hier noch zwischen [mm]\{u,v | |u,v|<1 \}[/mm] und [mm]\{u,v | |u,v|>1 \}[/mm]
> unterscheiden?
Hier verstehe ich die Notation nicht so recht - die Menge aller u und v für die gilt: |u|<1 und |v|<1 (bzw. beide >1)?
Fangen wir nochmal vorn an:
[mm] -au^4+4au^2v^2-2bv^4\le{0}\;\;\gdw\;\; au^4-4au^2v^2+2bv^4\ge{0}
[/mm]
Für die Gemütlichkeit substituieren wir mal so:
[mm] x:=\wurzel{a}u^2,\;\; y:=\wurzel{2b}v^2
[/mm]
Vergewissere Dich, dass das hier in allen Fällen erlaubt ist.
Dann haben wir
[mm] x^2-4\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{2b}}xy+y^2\ge{0}
[/mm]
Jetzt finde zuerst heraus, wann hier Gleichheit gegeben ist.
Grüße
reverend
PS: Mir schwant, dass es einen noch kürzeren Weg gibt, aber ich komme gerade nicht drauf. Ich lasse die Frage daher halboffen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nun wollte ich fragen ob es eine abschätzung gibt welche
> besagt, dass
>
> [mm]u\*v \le u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}?[/mm]
naja, es gilt doch
$$u*v [mm] \le u^2+v^2 \iff u^2-uv+v^2 \ge [/mm] 0 [mm] \iff {(u-\tfrac{v}{2})}^2+\tfrac{3}{4}v^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Begründe, warum die rechte Seite stets gilt - dann folgt aus dieser
Ungleichungskette die Behauptung, indem Du sie von rechts nach links
liest und dabei in den [mm] "$\iff$" [/mm] die [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] verwendest!
P.S. Wenn man "nur"
$$u*v [mm] \le u^2+v^2 \iff (u-v)^2+uv \ge 0\,$$
[/mm]
rechnet, reicht das eigentlich auch:
Denn
$$u*v [mm] \le u^2+v^2$$ [/mm]
gilt sicherlich, wenn [mm] $u\,$ [/mm] und [mm] $v\,$ [/mm] beide verschiedene Vorzeichen haben.
(Denn dann ist $u*v [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $u^2+v^2 \ge 0\,.$) [/mm]
Und wenn [mm] $u,v\,$ [/mm] beide das gleiche Vorzeichen haben, dann kann man
leicht
[mm] $$(u-v)^2+u*v \ge [/mm] 0$$
einsehen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie die Ungleichung für a,b>0, u,v [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]-au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le0[/mm]
> Hallo,
>
> meine Frage bezieht sich auf folgendes:
>
> habe das hierzu umgeformt:
> [mm]4au^{2}v^{2} \le au^{4}+2bv^{4}[/mm]
>
> Nun wollte ich fragen ob es eine abschätzung gibt welche
> besagt, dass
>
> [mm]u\*v \le u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}?[/mm]
>
> Dann könnte ich b in Abhängigkeit von a wählen. Oder
> muss ich hier noch zwischen [mm]\{u,v | |u,v|<1 \}[/mm] und [mm]\{u,v | |u,v|>1 \}[/mm]
> unterscheiden?
>
> Danke euch.
> Thomas
Hallo Thomas, hallo reverend, hallo Marcel,
für mich stellt sich zuerst die Frage, was überhaupt mit "Lösen Sie die Ungleichung" gemeint sein kann.
(*) $ [mm] -au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le [/mm] 0 $
Wir haben 4 Größen: a,b>0 und u,v $ [mm] \in \IR [/mm] $.
Es könnte so gemeint sein:
a und b seien fest. Welche Beziehung gilt zwischen a und b , so dass (*) für alle u,v [mm] \in \IR [/mm] richtig ist ?
Oder
u und v seien fest. Welche Beziehung gilt zwischen u und v , so dass (*) für alle a,b > 0 richtig ist ?
Oder ...., oder....
ich bin mal der ersten Frage nachgegangen. Seien also a und b fest.
Dann:
(*) gilt für alle u,v [mm] \in \IR \gdw [/mm] b [mm] \ge [/mm] 2a.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Lösen sie die Ungleichung für a,b>0, u,v [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > [mm]-au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le0[/mm]
> > Hallo,
> >
> > meine Frage bezieht sich auf folgendes:
> >
> > habe das hierzu umgeformt:
> > [mm]4au^{2}v^{2} \le au^{4}+2bv^{4}[/mm]
> >
> > Nun wollte ich fragen ob es eine abschätzung gibt welche
> > besagt, dass
> >
> > [mm]u\*v \le u^{2}[/mm] + [mm]v^{2}?[/mm]
> >
> > Dann könnte ich b in Abhängigkeit von a wählen. Oder
> > muss ich hier noch zwischen [mm]\{u,v | |u,v|<1 \}[/mm] und [mm]\{u,v | |u,v|>1 \}[/mm]
> > unterscheiden?
> >
> > Danke euch.
> > Thomas
>
>
> Hallo Thomas, hallo reverend, hallo Marcel,
>
> für mich stellt sich zuerst die Frage, was überhaupt mit
> "Lösen Sie die Ungleichung" gemeint sein kann.
die Frage habe ich mir auch gestellt. Aber mehr, wie die kleine
Zwischenbehauptung wollte ich gar nicht beweisen.
> (*) [mm]-au^{4}+4au^{2}v^{2}-2bv^{4}\le 0[/mm]
>
> Wir haben 4 Größen: a,b>0 und u,v [mm]\in \IR [/mm].
>
> Es könnte so gemeint sein:
>
> a und b seien fest. Welche Beziehung gilt zwischen a und b
> , so dass (*) für alle u,v [mm]\in \IR[/mm] richtig ist ?
>
> Oder
>
> u und v seien fest. Welche Beziehung gilt zwischen u und v
> , so dass (*) für alle a,b > 0 richtig ist ?
>
> Oder ...., oder....
Genau: Oder ..., oder ... , oder ..., ...
Erinnert mich übrigens gerade an die "Scherzfrage": "WAS IST AM TIEFSTEN? TASSE ODER TELLER?"
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 05.02.2013 | | Autor: | Valerie20 |
> IST AM TIEFSTEN? TASSE ODER TELLER?"
Oder! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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