Lösung einer gleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 29.03.2007 | | Autor: | Kobe_89 |
| Aufgabe | | die Aufgabe lautet: Bestimme die Gleichung der Tangenten t und der Normalen n bei der Gleichung: f(x) = 1/9x³-x² im Punkt P(3/-6) |
Könnte mir jemand diese Aufgabe ausführlich lösen, denn ich habe eben gerade mit ein paar Freunden versucht diese Aufgabe zu lösen und wir kamen zu keinem eindeutigen Ergebnis. Brauche diese Lösung für meine Matheklausur morgen.
Danke im Vorraus
Gruß Kobe
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 29.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
> die Aufgabe lautet: Bestimme die Gleichung der Tangenten t
> und der Normalen n bei der Gleichung: f(x) = 1/9x³-x² im
> Punkt P(3/-6)
steht das x³ im Nenner oder hinter dem 1/9?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Do 29.03.2007 | | Autor: | Kobe_89 |
Das x³ steht hinter dem 1/9, also 1/9 mal x³
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 29.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
da eine Tangente die gleichung y =m*x + b hat und f'(x)=m ist müsst ihr zuerst die Ableitung an diesem Punkt berechnen also die Ableitung von f ausrechnen und dann den x-Wert von P einsetzen das Ergebnis ist dann die Steigung der Tangente dann setzt ihr den x und y Wert von P in die gleichung y=mx + b ein und erhaltet so b... die Tangentengleichung ist fertig ^^
dann müsst ihr wissen dass [mm] m_{t} * m_{n} = -1 [/mm] gilt daraus könnt ihr dann [mm] m_{n} [/mm] berechnen (die Steigung der Normalen und dann wieder x und y Wert von P einsetzen in y = [mm] m_{n} [/mm] * x + b einsetzen um b auszurechnen...
wenn ihr noch mehr hilfe braucht schreibt mir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 29.03.2007 | | Autor: | Kobe_89 |
das weiß ich ja alles, ich hätte vielleicht noch dazu sagen sollen, dass ich die H-Methode {f(x) = [f(x0 + h) - f(x0)] / h} anwenden soll. könnte mir vielleicht jemand die komplette aufgabe inklusive zahlen und allen zwischenschritten hinschreiben ?
ich weiß, dass das etwas viel verlangt is, aber ich weiß nicht, was ich sonst noch tun soll ... ich hab bisher nirgends im bekanntenkreis eine genaue antwort bekommen.
Wäre echt super
Gruß Kobe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 29.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
eben hatte ich dir ja schon eine Lösung präsentiert. Jetzt sehe ich,
ihr sollt mit der h-Methode rechnen. Naja, mit der h-Methode kann man ja die
Ableitung einer Funktion berechnen:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 }\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] , wobei [mm] a=x_{0}
[/mm]
d.h.
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 }\bruch{\bruch{1}{9}*(a+h)^3-(a+h)^2-(\bruch{1}{9}*a^3-a^2) }{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0 }=\bruch{\bruch{1}{9}*(a^3+3a^2h+3ah^2+h^3)-(a^2+2ah+h^2)-(\bruch{1}{9}*a^3-a^2 )}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\ 0 }\bruch{\bruch{1}{9}a^3+\bruch{1}{3}a^2h+\bruch{1}{3}ah^2+\bruch{1}{9}h^3-a^2-2ah-h^2-\bruch{1}{9}*a^3+a^2 }{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0 }\bruch{1}{3}a^2+\bruch{1}{3}ah+\bruch{1}{9}h^2-2a-h
[/mm]
Das ist jetzt stark gekürzt, die Zwischenschritte sind zu viele, als das ich die alle hinschreiben mag.
Lässt du jetzt h gegen 0 gehen, fallen die Terme weg, die noch ein h enthalten:
[mm] ...=\bruch{1}{3}a^2-2a [/mm] das bleibt. Und siehe da, ersetzt du a durch x, erhälst du:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}x^2-2x
[/mm]
Und das kannst du mir der h-Methode machen; die Ableitung ermitteln.
Ich hoffe, es hilft - viel Erfolg bei deiner Klausur!!!
Aber ansonsten ist der Rechenweg bei der Aufgabe so, wie ich ihn dir schon beschrieben habe... (siehe "ausführlich")
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 29.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
eine ausführliche Lösung:
[mm] f(x)=\bruch{1}{9}x^3-x^2
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}x^2-2x
[/mm]
Eben wurde schon richtig gesagt, dass die Gleichung einer Geraden
y=m*x+b ist.
Du hast den Punkt P(3/-6). Und du kannst m (Steigung der Tangente) an der Stelle x=3 mittels der Ableitung berechnen, indem du x=3 in die Ableitung einsetzt:
[mm] f'(3)=\bruch{1}{3}*3^2-2*3=-3
[/mm]
also m=-3, das kannst du in deine Gleichung schon einmal einsetzen:
y= -3*x+b. Jetzt fehlt dir aber noch das b...
Du weißt aber auch noch, dass die Tangente durch den Punkt P(3/-6) geht. Also setze den Punkt einfach ein:
-6=-3*3+b und stelle nach b um:
b=3. Daraus ergibt sich folgende Tangentengleichung:
g(x)= -3*x+3.
MfG
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