Lösung eines DGL-Systems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des DGL-Systems
[mm]x' = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 } x[/mm] |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe zunächst Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix ausgerechnet.
Das wären
[mm] \lambda_1=1 [/mm] mit EV [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 3}
[/mm]
[mm] \lambda_2=1+2i [/mm] mit EV [mm] \vektor{0 \\ i \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_3=1-2i [/mm] mit EV [mm] \vektor{0 \\ -i \\ 1}
[/mm]
d.h. die allg. Lösung wäre [mm] (c_1 [/mm] , [mm] c_2 [/mm] , [mm] c_3 \in \IR)
[/mm]
[mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 3} + c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{0 \\ i \\ 1} + c_3 e^{(1-2i)t} \vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
ist das richtig?
Jetzt ist ja nur die allg. reelle Lösung gefragt. Bedeutet das, dass die beiden letzten Summanden aus der obigen Lösung wegfallen. Also
[mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 3}[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des
> DGL-Systems
>
> [mm]x' = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 } x[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe bei der Aufgabe zunächst Eigenwerte und
> Eigenvektoren der Matrix ausgerechnet.
>
> Das wären
>
> [mm]\lambda_1=1[/mm] mit EV [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 3}[/mm]
>
Der Eigenvektor muß doch hier lauten: [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ \blue{2}}[/mm]
> [mm]\lambda_2=1+2i[/mm] mit EV [mm]\vektor{0 \\ i \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=1-2i[/mm] mit EV [mm]\vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
>
> d.h. die allg. Lösung wäre [mm](c_1[/mm] , [mm]c_2[/mm] , [mm]c_3 \in \IR)[/mm]
>
> [mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 3} + c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{0 \\ i \\ 1} + c_3 e^{(1-2i)t} \vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja, die komplexe Lösung lautet dann:
[mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2} + c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{0 \\ i \\ 1} + c_3 e^{(1-2i)t} \vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
>
> Jetzt ist ja nur die allg. reelle Lösung gefragt. Bedeutet
> das, dass die beiden letzten Summanden aus der obigen
> Lösung wegfallen. Also
>
> [mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 3}[/mm]
Nein, das bedeutet, daß die konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
so gewählt werden müssen, daß eine reelle Lösung herauskommt.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Nein, das bedeutet, daß die konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
> so
> gewählt werden müssen, daß eine reelle Lösung
> herauskommt.
Also kann ich die allg. komplexe Lösung als Antwort für die Aufgabe so stehen lassen?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du musst schon C1,C2 so wählen, dass die Lösung reell ist
Gruss leduart
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Hallo,
vielen Dank für die Hinweise. Habe es jetzt mal umgeschrieben..
[mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2} + c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{0 \\ i \\ 1} + c_3 e^{(1-2i)t} \vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
= [mm] c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2} [/mm] + [mm] c_2 e^t \vektor{0 \\ -sin(2t)+i*cos(2t) \\ cos(2t)+i*sin(2t)} [/mm] + [mm] c_3 e^t \vektor{0 \\ -sin(2t)-i*cos(2t) \\ cos(2t)-i*sin(2t)}
[/mm]
Ist das so korrekt? Wenn ja, müsste man sich doch fragen, was man für [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] einsetzen kann, damit es eine reelle Lösung ergibt.
Dabei komme ich leider nicht weiter.
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Hinweise. Habe es jetzt mal
> umgeschrieben..
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> [mm]x = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2} + c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{0 \\ i \\ 1} + c_3 e^{(1-2i)t} \vektor{0 \\ -i \\ 1}[/mm]
>
> = [mm]c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2}[/mm] + [mm]c_2 e^t \vektor{0 \\ -sin(2t)+i*cos(2t) \\ cos(2t)+i*sin(2t)}[/mm]
> + [mm]c_3 e^t \vektor{0 \\ -sin(2t)-i*cos(2t) \\ cos(2t)-i*sin(2t)}[/mm]
>
> Ist das so korrekt? Wenn ja, müsste man sich doch fragen,
> was man für [mm]c_2[/mm] und [mm]c_3[/mm] einsetzen kann, damit es eine
> reelle Lösung ergibt.
Ja, das ist korrekt.
Schreibe jetzt die Lösung so:
[mm]x\left(t\right)=c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2}+k_{2}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*\sin\left(2*t\right)+k_{3}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*cos\left(2*t\right)[/mm]
Und untersuche dann, unter welcher Bedingung [mm]k_{2}, \ k_{3}[/mm] reell werden.
>
> Dabei komme ich leider nicht weiter.
>
> Gruß, Gratwanderer
Gzuss
MathePower
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Hallo,
> [mm]x\left(t\right)=c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2}+k_{2}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*\sin\left(2*t\right)+k_{3}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*cos\left(2*t\right)[/mm]
>
> Und untersuche dann, unter welcher Bedingung [mm]k_{2}, \ k_{3}[/mm]
> reell werden.
Da [mm]sin(2t)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} i e^{-2 i t}-\bruch{1}{2} i e^{2 i t}[/mm], würde ich sagen dass [mm] k_2 [/mm] reell ist wenn [mm]sin(2t)=0[/mm]. Also bei [mm] t=\bruch{k}{2}*\pi [/mm] (k [mm] \in \IR). [/mm] Bei [mm] k_3 [/mm] dann entsprechend t = [mm] \bruch{2k-1}{4}*\pi. [/mm] Stimmt das?
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
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> > [mm]x\left(t\right)=c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2}+k_{2}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*\sin\left(2*t\right)+k_{3}*\pmat{ ... \\ ... \\ ...}*e^{t}*cos\left(2*t\right)[/mm]
>
> >
> > Und untersuche dann, unter welcher Bedingung [mm]k_{2}, \ k_{3}[/mm]
> > reell werden.
>
> Da [mm]sin(2t)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} i e^{-2 i t}-\bruch{1}{2} i e^{2 i t}[/mm],
> würde ich sagen dass [mm]k_2[/mm] reell ist wenn [mm]sin(2t)=0[/mm]. Also
> bei [mm]t=\bruch{k}{2}*\pi[/mm] (k [mm]\in \IR).[/mm] Bei [mm]k_3[/mm] dann
> entsprechend t = [mm]\bruch{2k-1}{4}*\pi.[/mm] Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
Die Bedingung unter der die Konstanten [mm]k_{2}, \ k_{3}[/mm] reell werden.
muß unabhängig von t sein.
>
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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Hallo,
nach langem Lesen der Postings und verschiedener Skripte bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm]y_1 = c_1 e^t \vektor{2 \\ -3 \\ 2}[/mm]
[mm]y_2 = c_2 e^{(1+2i)t} \vektor{ 0 \\ i \\ 1} = c_2 e^t e^{2i t} \vektor{ \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1} + i \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }} = c_2 e^t (cos(2t)+i sin(2t))\vektor{\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1} + i \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }} = c_2 e^t \vektor{cos(2t) \vektor{0\\0\\1}-sin(2t)\vektor{0\\1\\0} \underbrace{+i\vektor{sin(2t)\vektor{0\\0\\1}+cos(2t)\vektor{0\\1\\0}}}_{komplex}}[/mm]
also wäre [mm] y_2 [/mm] = [mm] c_2 e^t \vektor{cos(2t) \vektor{0\\0\\1}-sin(2t)\vektor{0\\1\\0}} [/mm] eine reelle Lösung? bzw. ein Teil der reellen Lösung?
Für [mm] y_3 [/mm] würde das analog gehen.
Stimmt das so?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 19.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast [mm] $y_2= Re(y_2)+iIm(y_2)$
[/mm]
Dann sind [mm] Re(y_2) [/mm] und [mm] Im(y_2) [/mm] 2 linear unabh. reelle Lösungen. Zusammen mit [mm] y_1 [/mm] hast Du ein reelles Fundamentalsystem.
Auf [mm] y_3 [/mm] kannst Du verzichten.
FRED
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> Du hast [mm]y_2= Re(y_2)+iIm(y_2)[/mm]
>
> Dann sind [mm]Re(y_2)[/mm] und [mm]Im(y_2)[/mm] 2 linear unabh. reelle
> Lösungen.
Also sind [mm]Re(y_2) = c_2 e^t \vektor{0\\-sin(2t)\\cos(2t)}[/mm] und [mm]Im(y_2) = c_2 e^t \vektor{0\\cos(2t)\\sin(2t)}[/mm]
> Zusammen mit [mm]y_1[/mm] hast Du ein reelles
> Fundamentalsystem.
>
Ist das Fundamentalsystem dann
[mm] \pmat{2&&0&&0\\-3&&-sin(2t)&&cos(2t)\\2&&cos(2t)&&sin(2t)}
[/mm]
?
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> > Du hast [mm]y_2= Re(y_2)+iIm(y_2)[/mm]
> >
> > Dann sind [mm]Re(y_2)[/mm] und [mm]Im(y_2)[/mm] 2 linear unabh. reelle
> > Lösungen.
>
> Also sind [mm]Re(y_2) = c_2 e^t \vektor{0\\-sin(2t)\\cos(2t)}[/mm]
> und [mm]Im(y_2) = c_2 e^t \vektor{0\\cos(2t)\\sin(2t)}[/mm]
>
> > Zusammen mit [mm]y_1[/mm] hast Du ein reelles
> > Fundamentalsystem.
> >
>
> Ist das Fundamentalsystem dann
>
> [mm]\pmat{2&&0&&0\\-3&&-sin(2t)&&cos(2t)\\2&&cos(2t)&&sin(2t)}[/mm]
>
Das [mm]e^{t}[/mm] gehört bei allen von 0
verschiedenen Einträgen noch dazu.
Dann stimmt das.
> ?
>
> Gruß, Gratwanderer
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 17.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal das an:
http://www.binomi.de/pdf/dgl1.pdf
insbes. Seite 80
FRED
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