Lösung ganzer Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Bestimme die kleinste positive ganze Zahl c, für die die Gleichung 329260x+163163y=c eine Lösung in ganzen Zahlen x und y hat. Welche Werte ergeben sich mit Ihrem c für x und y? |
Hallo Zusammen,
könnt ihr mir hier behilflich sein? Wie könnte man diese Aufgabe lösen? Hab ihr einen Tipp für mich?
Danke und Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Bestimme die kleinste positive ganze Zahl c, für die die
> Gleichung 329260x+163163y=c eine Lösung in ganzen Zahlen x
> und y hat. Welche Werte ergeben sich mit Ihrem c für x und
> y?
> Hallo Zusammen,
>
> könnt ihr mir hier behilflich sein? Wie könnte man diese
> Aufgabe lösen? Hab ihr einen Tipp für mich?
Hier kann man schwer einen Tipp geben, ohne direkt alles zu verraten... Ich würde einfach mal untersuchen, was der ggT mit der ganzen Sache zu tun hat.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also 329260x+163163y=c
Wenn ich das nach dem euklidischen Algorithmus mache erhalte ich folgendes:
329260 : 163163 = 2 Rest 2934. Also ist ggT (329260,163163)= ggT (163163,2934)
163163 : 2934 = 55 Rest 1793. Also ist ggT (163163,2934)= ggT (2934,1793)
2934 : 1793 = 1 Rest 1141. Also ist ggT (2934,1793)= ggT (1793,1141)
1793 : 1141 = 1 Rest 652. Also ist ggT (1793,1141)= ggT (1141,652)
1141 : 652 = 1 Rest 489. Also ist ggT (1141,652)= ggT (652,489)
652 : 489 = 1 Rest 163. Also ist ggT (652,489)= ggT (489,163)
489 : 163 = 3 Rest 0. Also ist ggT (489,163)= ggT (163,0)
Also ist der kleinste gemeinse Teiler x=163 und y=0 ?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> also 329260x+163163y=c
>
> Wenn ich das nach dem euklidischen Algorithmus mache
> erhalte ich folgendes:
>
> 329260 : 163163 = 2 Rest 2934. Also ist ggT
> (329260,163163)= ggT (163163,2934)
> 163163 : 2934 = 55 Rest 1793. Also ist ggT (163163,2934)=
> ggT (2934,1793)
> 2934 : 1793 = 1 Rest 1141. Also ist ggT (2934,1793)= ggT
> (1793,1141)
> 1793 : 1141 = 1 Rest 652. Also ist ggT (1793,1141)= ggT
> (1141,652)
> 1141 : 652 = 1 Rest 489. Also ist ggT (1141,652)= ggT
> (652,489)
> 652 : 489 = 1 Rest 163. Also ist ggT (652,489)= ggT
> (489,163)
> 489 : 163 = 3 Rest 0. Also ist ggT (489,163)= ggT (163,0)
>
> Also ist der kleinste gemeinse Teiler x=163 und y=0 ?
Der kleinste gemeinsame (positive) Teiler ist immer 1 
Der größte gemeinsame Teiler ist tatsächlich 163. Jetzt musst du das nur noch auf die Aufgabe beziehen.
Die Zahlen x und y erhältst du übrigens jetzt durch Rückwärtseinsetzen. Schreibe dazu deine obigen Rechnungen am besten in der Form auf:
[mm] $\vdots$
[/mm]
1793 = 1*1141 + 652
1141 = 1*652 + 489
652 = 1*489 + 163
Stelle alle Gleichungen nach dem Rest um:
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $\blue{1793 - 1*1141 = 652}$
[/mm]
[mm] $\red{1141 - 1*652 = 489}$
[/mm]
$652 - 1*489 = 163$
Rückwärtseinsetzen:
$163 = 652 - [mm] 1*\red{489} [/mm] = [mm] 652-1(\red{1141-1*652}) [/mm] = 652-1*1141+1*652 = [mm] 2*\blue{652}-1*1141 [/mm] = [mm] 2*(\blue{1793-1*1141})-1*1141 [/mm] = [mm] 2*1793-3*1141=\ldots$ [/mm] (ohne Gewähr)
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
irgendwie blick ich beim rückwärtseinsetzen nicht wirklich durch... kannst du mir das mal etwas genauer erklären... Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> irgendwie blick ich beim rückwärtseinsetzen nicht
> wirklich durch... kannst du mir das mal etwas genauer
> erklären... Danke!
Ich habe in meiner Antwort Farbmarkierungen vorgenommen, damit sollte es eigentlich klar werden.
-Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo, also ich habe nun raus:
163
=652-1*489
=652-1(1141-652)
=652-1141+652
=2*652-1141
=2*(1793-1141)-1141
=2*1793-3*1141
=2*1793-3*(2934-1793)
=2*1793-3*2934+3*1793
=5*1793-3*2934
=5*(163163-55*2934)-3*2934
=5*163163-275*2934-3*2934
=5*163163-278*2934
=5*163163-278(329260-2*163163)
=5*163163-278*329260+556*163163
=561*163163-278*329260
Damit müsste x=561 und y=-278 sein!
Kannst du mir das so bestätigen?
Danke und Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> 163
> =652-1*489
> [...]
> =561*163163-278*329260
>
> Damit müsste x=561 und y=-278 sein!
>
> Kannst du mir das so bestätigen?
Klar stimmt das, das kann dir doch jeder Taschenrechner bestätigen.
Jetzt musst du nur noch argumentieren, warum 163 die kleinste positive Zahl ist mit der geforderten Eigenschaft.
-Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich habe jetzt einfach mal die Werte eingesetzt:
329260*561+163163*(-278)=139355546
x=561
y=-278
c=139355546
c/163=854942
329260/163 = 2020
163163/163 = 1001
braucht man solche Rechnungen?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich habe jetzt einfach mal die Werte eingesetzt:
>
> 329260*561+163163*(-278)=139355546
Häh? Was soll das denn? Hast du x und y vertauscht?
> x=561
> y=-278
> c=139355546
>
> c/163=854942
>
> 329260/163 = 2020
> 163163/163 = 1001
>
> braucht man solche Rechnungen?
Das ist ja mal ein besonders sinnfreie und ziellose Frage.
Die letzten beiden Gleichungen sind äquivalent zu
$329260=2010*163$
und
$163163=1001*163$
Setze das mal in deine Ausgangsgleichung ein und argumentiere, was das kleinste c ist.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Sorry, hast recht. x=-278 und y=561
In die Ursprungsgleichung eingesetzt:
329260*(-278)+163163*561=163
163 ist das kleinste c was man findet, da 163 ist der größte gemeinsame Teiler ist?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> Sorry, hast recht. x=-278 und y=561
>
> In die Ursprungsgleichung eingesetzt:
>
> 329260*(-278)+163163*561=163
>
> 163 ist das kleinste c was man findet, da 163 ist der
> größte gemeinsame Teiler ist?!
Bitte lies dir doch meine vorherige Antwort durch.
-Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Du hattest gesagt:
329260=163*2020
163163=163*1001
Du willst wohl auf die (2020,1001) heraus, kann das sein?
Die beiden sind ja lediglich die Werte mit denen 163 die Gleichungen korrekt sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> Du hattest gesagt:
>
> 329260=163*2020
> 163163=163*1001
>
> Du willst wohl auf die (2020,1001) heraus, kann das sein?
Keine Ahnung, was du mit dieser Frage meinst.
Ich meinte meinen letzten Satz in meiner nun vorletzten Antwort, diese Gleichungen in die Ausgangsgleichung einzusetzen.
Viele GRüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich versteh nicht so recht, was ich in die Ausgangsgleichung einsetzen soll.
Ich habe doch bereits x=-278 und y=561 errechnet.
Dies eingesetzt ergibt: 329260*(-278)+163163*561=163
... Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> Ich versteh nicht so recht, was ich in die
> Ausgangsgleichung einsetzen soll.
>
> Ich habe doch bereits x=-278 und y=561 errechnet.
>
> Dies eingesetzt ergibt: 329260*(-278)+163163*561=163
Wenn du die beiden Gleichungen
329260=2010*163
und
163163=1001*163
nicht in die Ausgangsgleichung
329260x+163163y=c
einsetzen kannst, kann ich dir auch nicht mehr helfen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 21.11.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
329260*x+163163*y=c
163*2020*-278 + 163*1001*561 = 163
?! Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> 329260*x+163163*y=c
>
> 163*2020*-278 + 163*1001*561 = 163
Ich fürchte, dann kann ich dir wirklich nicht mehr weiterhelfen.
Wenn man
329260=2010*163
und
163163=1001*163
in die Ausgangsgleichung
329260x+163163y=c
einsetzt, erhält man
2010*163*x+1001*163*y=c
Klammere nun 163 aus und sehe, dass jedes c, das die Gleichung löst, ein Vielfaches von 163 sein muss. Daher ist c=163 das kleinste solche c.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
