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Lösung in Intervall: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Mi 22.01.2014
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm] e^x=9/(1+9*cos(x)) [/mm] eine Lösung im Intervall [0, [mm] \pi/2] [/mm] besitzt.

Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen zu:
0=9/(1+9*cos(x)) - [mm] e^x [/mm]
Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz, dass es eine Nullstelle gibt. Aber hat sich was mit Stetigkeit....  o.o
Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....

Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...

        
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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 22.01.2014
Autor: Valerie20

Du könntest es mit der Fixpunktiteration versuchen, falls ihr diese schon hattet.

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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Mi 22.01.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm]e^x=9/(1+9*cos(x))[/mm] eine
> Lösung im Intervall [0, [mm]\pi/2][/mm] besitzt.
>  Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht
> ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen
> zu:
>  0=9/(1+9*cos(x)) - [mm]e^x[/mm]

Ja, ok. Was erhältst du denn für x=0 und [mm] x=\pi/2 [/mm] ?

Ist die Funktion [mm] f(x)=9/(1+9*cos(x))-e^x [/mm]  stetig?

Und denk nun einmal an die Sätze aus deiner Analysis I - Vorlesung...

>  Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz,
> dass es eine Nullstelle gibt. Aber hat sich was mit
> Stetigkeit....  o.o
>  Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber
> nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....
>  
> Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die
> Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig
> ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...

P.S.: Und ja! Dich interessiert nur das angegebene Intervall. Ob die Funktion an anderen Stellen unstetig ist, ist für dich momentan unwichtig. Bedenke also dass [mm] \cos(x)>0 [/mm] für [mm] [0,\pi/2) [/mm]


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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Mi 22.01.2014
Autor: reverend

Hallo Ymaoh,

noch mehr Senf:

> Beweisen Sie, dass die Gleichung [mm]e^x=9/(1+9*cos(x))[/mm] eine
> Lösung im Intervall [0, [mm]\pi/2][/mm] besitzt.
>  Da wir uns momentan mit Stetigkeit beschäftigen, dacht
> ich zunächst, ich könnte die Gleichung einfach umstellen
> zu:
>  0=9/(1+9*cos(x)) - [mm]e^x[/mm]
>  Um dann Stetigkeit zu zeigen und mittels Nullstellensatz,
> dass es eine Nullstelle gibt.

Meinst Du damit einen Spezialfall des Zwischenwertsatzes?

> Aber hat sich was mit
> Stetigkeit....  o.o

Na, Moment mal.
Der Nenner bleibt in diesem Intervall doch durchweg [mm] \ge{1} [/mm] und kommt der 0 also nicht mal nahe.

>  Also funktioniert diese Idee nicht. Jetzt weiß ich aber
> nicht, wie ich diese Aufgabe sonst angehen könnte....
>  
> Wobei mir gerade beim schreiben auffällt, dass die
> Funktion ja eventuell in eben diesem Intervall stetig
> ist....Dann müsste ich ja nur das zeigen...

Genau. Insbesondere ist die Funktion auch an den Randpunkten des Intervalls stetig, so dass Du die beiden Funktionswerte dort nutzen kannst.

Die Nullstelle liegt ziemlich nah bei [mm] \pi/2. [/mm]
Du brauchst sie aber nicht zu bestimmen, es reicht, ihre Existenz zu zeigen.

Grüße
reverend

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Lösung in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mi 22.01.2014
Autor: Ymaoh

Reicht es also zu schreiben:

[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x) = 9/(1+9*cos(0) - [mm] e^0 [/mm] = f(0)

[mm] \limes_{x\rightarrow\(\pi)/2} [/mm] f(x) = [mm] 9/(1+9(cos((\pi)/2)) [/mm] - [mm] e^{\pi/2}=f(\pi/2) [/mm]

und:
f(0)=9/10 - 1 <0  
[mm] f(\pi/2)=9-e^{\pi/2} [/mm] > 0

Also gibgt es laut Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle.
?

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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Mi 22.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Reicht es also zu schreiben:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] f(x) = 9/(1+9*cos(0) - [mm]e^0[/mm] = f(0)
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(\pi)/2}[/mm] f(x) = [mm]9/(1+9(cos((\pi)/2))[/mm] -
> [mm]e^{\pi/2}=f(\pi/2)[/mm]

Was machst du da?

Sei [mm] f:[0,\frac{\pi}{2}]\longrightarrow\IR,f(x)=\frac{9}{1+9\cos(x)}-e^x [/mm]

Es gilt für alle [mm] $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$: [/mm]

      [mm] \cos(x)\ge0 [/mm]

      [mm] \Rightarrow 9\cos(x)\ge0 [/mm]

      [mm] \Rightarrow 1+9\cos(x)\ge1 [/mm]

Damit ist $f$ im Nenner nullstellenfrei und als Komposition stetiger Funktionen auf [mm] $[0,\frac{\pi}{2}]$ [/mm] stetig.

> und:
>  f(0)=9/10 - 1 <0  
> [mm]f(\pi/2)=9-e^{\pi/2}[/mm] > 0

[ok]

> Also gibgt es laut Zwischenwertsatz mindestens eine
> Nullstelle.
>  ?

[ok]

Es existiert ein [mm] \xi\in(0,\frac{\pi}{2}) [/mm] mit [mm] f(\xi)=0. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Lösung in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mi 22.01.2014
Autor: Bjoern20121

Moin, kann man nicht auch folgendes machen?

Nenner ist für das Intervall ungleich Null also bekommt man [mm] e^x(1+9cos(x))/9=0 [/mm] und das geht falls 1+9cos(x)=0 also [mm] x=2\pi [/mm] n * arccos(-1/9) mit [mm] n\in\IZ [/mm] und mit n=0 erhält man die Lösung.
Geht das?

LG, Björn

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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Mi 22.01.2014
Autor: reverend

Hallo Björn,

> Moin, kann man nicht auch folgendes machen?
>
> Nenner ist für das Intervall ungleich Null also bekommt
> man [mm]e^x(1+9cos(x))/9=0[/mm]

Nein, das ist doch keine gültige Umformung. Schau nochmal genau hin.

> und das geht falls 1+9cos(x)=0 also
> [mm]x=2\pi[/mm] n * arccos(-1/9) mit [mm]n\in\IZ[/mm] und mit n=0 erhält man
> die Lösung.

Dann gäbe es keine. Im vorliegenden Intervall ist [mm] \cos{x}\ge{0}, [/mm] die Lösung setzt aber einen negativen Cosinus voraus.
Aber wie gesagt, der Anfang stimmt schon nicht.

>  Geht das?

Nein.

Grüße
reverend

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Lösung in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mi 22.01.2014
Autor: Bjoern20121

Danke für die schnelle Antwort!!

Hmm.. [mm] e^x=9/(1+9cos(x)) [/mm] daraus folgt [mm] e^x(1+9cos(x))=9, [/mm] denn [mm] 1+9cos(x)\not=0. [/mm] Dann zu meinem Ergebnis.

Darf ich nicht multiplizieren?

Lg, Björn

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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Mi 22.01.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Danke für die schnelle Antwort!!
>  
> Hmm.. [mm]e^x=9/(1+9cos(x))[/mm] daraus folgt [mm]e^x(1+9cos(x))=9,[/mm] denn
> [mm]1+9cos(x)\not=0.[/mm]

Die Folgerung stimmt schon, nur die Voraussetzung ist falsch.

> Dann zu meinem Ergebnis.
>  
> Darf ich nicht multiplizieren?

Nein, wie denn? Zeig doch mal, wie Du aus der ursprünglichen Gleichung zu Deiner Umformung kommst.

Grüße
reverend

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Lösung in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Mi 22.01.2014
Autor: Bjoern20121

Habe meinen Fehler gefunden... 9/9=1 und nicht 0....
Aber es geht glaube ich auch so weiter..

[mm] e^x=9/(1+9\cdot{}cos(x)) [/mm] | * [mm] (1+9\cdot{}cos(x))\not=0 [/mm]

also folgt

[mm] e^x(1+9\cdot{}cos(x))=9 [/mm]

[mm] e^x(1+9\cdot{}cos(x))-9=0 [/mm]

Jetzt ist Schicht im Schacht,oder?

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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mi 22.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Habe meinen Fehler gefunden... 9/9=1 und nicht 0....
>  Aber es geht glaube ich auch so weiter..
>  
> [mm]e^x=9/(1+9\cdot{}cos(x))[/mm] | * [mm](1+9\cdot{}cos(x))\not=0[/mm]
>  
> also folgt
>  
> [mm]e^x(1+9\cdot{}cos(x))=9[/mm]
>  
> [mm]e^x(1+9\cdot{}cos(x))-9=0[/mm]
>  
> Jetzt ist Schicht im Schacht,oder?

Analytisch? Ja.
Numerisch? Nein.


Gruß
DieAcht

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Lösung in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 22.01.2014
Autor: Bjoern20121

Woher erkenne ich, dass es analytisch nicht mehr weiter geht?

Bezug
                                                                
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Lösung in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mi 22.01.2014
Autor: Richie1401


> Woher erkenne ich, dass es analytisch nicht mehr weiter
> geht?

Hi,

du kannst die Gleichung nicht exakt nach x auflösen. Da dies nicht geht, kannst du nur numerisch an die ganze Sache heran gehen.

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