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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun
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Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Sa 02.07.2011
Autor: Dark.Rider

Aufgabe
y'-(2cos x)y=cos x

Hallo!

Ich suche den Lösungsweg für die o.g. DGL. Sie soll mittels Variation der Konstanten gelöst werden (es ist eine Aufgabe aus dem Papula). An für sich ist es mir klar, wie es funktioniert, nur beim letzten Schritt, der Integration von K'(x) scheitert es:

y'-(2cos x)y=cos x

Homogene Lösung (stimmt mit Papula auch überein):
[mm] y_{h}=Ce^{2sin(x)} [/mm]

Nun gehts weiter mit der Variation der Konstanten:

[mm] y=K(x)e^{2sin(x)} [/mm]
[mm] y'=K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)} [/mm]

Eingesetzt in DGL:

[mm] K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}- [/mm] (2 cos x) [mm] K(x)e^{2sin(x)}= [/mm] cos x

Die K(x)-Terme heben sich auch wie sie sollen auf:

[mm] K'(x)e^{2sin(x)}= [/mm] cos x

[mm] K'(x)=\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}} [/mm]

und jetzt kommt das Problem:

[mm] K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}} dx} [/mm]

Ich weiss keinen Weg diesen Term zu integrieren.

Die Lösung des DGLs soll sein:

[mm] y=Ce^{2sin(x)}-0.5 [/mm]

Bin für Hinweise dankbar!

Gruss
Thomas

        
Bezug
Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Dark.Rider,

> y'-(2cos x)y=cos x
>  Hallo!
>  
> Ich suche den Lösungsweg für die o.g. DGL. Sie soll
> mittels Variation der Konstanten gelöst werden (es ist
> eine Aufgabe aus dem Papula). An für sich ist es mir klar,
> wie es funktioniert, nur beim letzten Schritt, der
> Integration von K'(x) scheitert es:
>  
> y'-(2cos x)y=cos x
>  
> Homogene Lösung (stimmt mit Papula auch überein):
>  [mm]y_{h}=Ce^{2sin(x)}[/mm]
>  
> Nun gehts weiter mit der Variation der Konstanten:
>  
> [mm]y=K(x)e^{2sin(x)}[/mm]
>  [mm]y'=K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}[/mm]
>  
> Eingesetzt in DGL:
>  
> [mm]K'(x)e^{2sin(x)}+2K(x)(cos x)e^{2sin(x)}-[/mm] (2 cos x)
> [mm]K(x)e^{2sin(x)}=[/mm] cos x
>  
> Die K(x)-Terme heben sich auch wie sie sollen auf:
>  
> [mm]K'(x)e^{2sin(x)}=[/mm] cos x
>  
> [mm]K'(x)=\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}}[/mm]
>  
> und jetzt kommt das Problem:
>  
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{cos x}{e^{2sin(x)}} dx}[/mm]
>  
> Ich weiss keinen Weg diesen Term zu integrieren.


Substituiere [mm]z=2*\sin\left(x\right)[/mm]


>  
> Die Lösung des DGLs soll sein:
>  
> [mm]y=Ce^{2sin(x)}-0.5[/mm]
>  
> Bin für Hinweise dankbar!
>  
> Gruss
>  Thomas


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Sa 02.07.2011
Autor: Dark.Rider

Danke!

Bezug
        
Bezug
Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Sa 02.07.2011
Autor: leduart

Hallo
substituiere in deinem integral sinx=u du=cosx dx
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Lösung inhomogene DGL 1.Ordnun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Sa 02.07.2011
Autor: Dark.Rider

Danke auch :)

Bezug
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