Lösung inhomogene Dgl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:43 Fr 05.10.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Hallo,
wie kann es eigentlich begründet werden, dass ich alle Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1.Ordnung bekomme, wenn ich nur die allgemeine Lösung des homogenen Falls nehme und dazu eine spezielle des inhomogenen Falls summiere?
Ich habe mir das so erklärt, dass ich den Vektorraum der Lösungen der homogenen Dgl schlicht verschiebe und so den Lösungsraum der inhomogenen Dgl bekomme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Fr 05.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> wie kann es eigentlich begründet werden, dass ich alle
> Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
> 1.Ordnung bekomme, wenn ich nur die allgemeine Lösung des
> homogenen Falls nehme und dazu eine spezielle des
> inhomogenen Falls summiere?
> Ich habe mir das so erklärt, dass ich den Vektorraum der
> Lösungen der homogenen Dgl schlicht verschiebe und so den
> Lösungsraum der inhomogenen Dgl bekomme.
Rechnen wir es nach !
Es sei I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und $a,b:I [mm] \to \IR$ [/mm] seien stetig. Damit betrachten wir die DGL
(1) $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$
und die zu (1) gehörende homogene Gleichung
(2) $y'(x)=a(x)y(x)$.
Weiter sei [mm] $y_p:I \to \IR$ [/mm] eine spezielle Lösung von (1) und L die Menge aller Lösungen von (2).
I) Nun sei [mm] y_0 \in [/mm] L und [mm] y:=y_0+y_p. [/mm] Rechne nun Du nach, dass y eine Lösung von (1) ist.
II) Sei umgekehrt $y:I [mm] \to \IR$ [/mm] eine Lösung von (1). Wir setzen [mm] $y_0:=y-y_p$. [/mm] Du darfst nun nachrechnen, dass [mm] y_0 [/mm] eine Lösung von (2) ist. Weiter ist [mm] y=y_0+y_p.
[/mm]
Aus I) und II) erhalten wir:
allg. Lösung von (1) = allg. Lösung von (2) [mm] +y_p
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Sa 06.10.2018 | | Autor: | Maxi1995 |
Hallo,
vielen Dank, ich werde es für mich nochmal nachrechnen. :)
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Vielleicht ist folgende Betrachtung noch etwas einfacher, wobei ich mal die gegebenen Voraussetzungen usw. weglasse und das Ganze an einem Beispiel erkläre:
Gegeben: a(x)y'''(x) + b(x)y''(x) + c(x)y'(x) + d(x)y(x) = f(x)
Seien u(x) und w(x) zwei verschiedene Lösungen der DGL. Dann gilt:
a(x)u'''(x) + b(x)u''(x) + c(x)u'(x) + d(x)u(x) = f(x) und
a(x)w'''(x) + b(x)w''(x) + c(x)w'(x) + d(x)w(x) = f(x)
Subtraktion liefert:
a(x)(u'''(x) - w'''(x)) + b(x)(u''(x) - w''(x)) + c(x)(u'(x) - w'(x)) + d(x)(u(x) - w(x)) = 0
Das ist aber nach der Differenzregel gleichbedeutend mit
a(x)(u(x) - w(x))''' + b(x)(u(x) - w(x))'' + c(x)(u(x) - w(x))' + d(x)(u(x) - w(x)) = 0
Setzen wir nun z(x) = u(x) - w(x), so erhalten wir a(x)z'''(x) + b(x)z''(x) + c(x)z'(x) + d(x)z(x) = 0.
Das bedeutet: Sind u und w zwei (verschiedene) Lösungen einer Linearen DGL (beliebiger Ordnung), so ist z = u - v Lösung der homogenen DGL und somit u = w + z.
Nimmt man w als eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL an, so unterscheidet sich jede andere Lösung u davon nur durch irgendeine Lösung z der homogenen DGL.
Deshalb braucht man nur irgendeine spezielle, aber alle homogenen Lösungen.
Die Umkehrung, dass alle solche Kombinationen die obige DGL erfüllen, erschließt sich trivial durch Rechnung nach obigem Muster.
a(x)...d(x) können beliebige Fkt. von x, insbesondere auch Konstante sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mo 08.10.2018 | | Autor: | fred97 |
Zunächst allgemein:
I) Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und $T:V [mm] \to [/mm] W$ linear.
Weiter sei [mm] \in [/mm] W fest gegeben. Wir betrachten die Gleichungen
(1) T(y)=b
und
(2) T(y)=0.
Sei L die Lösungsmenge von (1). Die Lösungsmenge von (2) ist gerade kern(T).
Sei nun weiter [mm] y_s \in [/mm] V eine spezielle Lösung von (1).
Behauptung: [mm] L=kern(T)+y_s:=\{z+y_s: z \in kern(T)\}.
[/mm]
Beweis:1. ist z [mm] \in [/mm] kern(T) und [mm] y:=z+y_s, [/mm] so gilt
[mm] T(y)=T(z)+T(y_s)=0+b=b.
[/mm]
Damit ist y [mm] \in [/mm] L.
2. sei y [mm] \in [/mm] L. Setze [mm] z:=y-y_s. [/mm] Dann: [mm] T(z)=T(y)-T(y_s)=b-b=0, [/mm] also z [mm] \in [/mm] kern(T) und [mm] y=z+y_s.
[/mm]
q.e.d.
II) Nun zur linearen DGL 1. Ordnung:
Sei I ein intervall in [mm] \IR, V:=C^1(I), [/mm] W:=C(I). Mit festen a,b [mm] \in [/mm] W betrachten wir die Gl.
y'=ay+b.
Definiert man die Abb. T:V [mm] \to [/mm] W durch T(y):=y'-ay, so ist T linear.
Wende nun das unter I) Gesagte auf dieses spezielle T an.
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