Lösung linearen Gleichungssyst < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Myrinne |
| Aufgabe | "Wie muss tER gewählt werden, damit sich g1 und g2 schneiden (windschief sind)?
Dann die Geradengleichung (Vektoren), daraus entsteht folgendes Gleichungssystem:
I) 3+3r=1+2s
II)4 -6r=5+ 2st
III)2 - 3rt =4+4s |
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
I) 3+3r=1+2s|⋅2
II) 4-6r=5+ 2st
III)2 - 3rt =4+4s
I) 6+6r=2+4s
I) - III) 4+6r- 3rt =-2|-4
6r- 3rt =-6
das Ganze - III) -2+6r=-10-2s|+2+2s
nannte ich dann I'') 6r+2s=-8
I) - II) 12=2s|2
s=6
in I) 3+3r=13|-3
3r=10|3
r=103
r,s in III)
2-10t=28|-2
-10t=26|:10
t=-2,6
Stimmt aber nicht. Das Ergebnis soll lauten: t = 5/2 für Schnitt, t [mm] \not=5/2;-2 [/mm] für Windschiefe.
Wäre um einen kompletten Lösungsweg dankbar, sitze jetzt seit Tagen an der Aufgabe und bin krank und die Zeit rennt. Herrje :D
Vielen Dank im Voraus,
Myrinne
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Lineares-Gleichungssystem-130
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Hallo Myrinne,
> "Wie muss tER gewählt werden, damit sich g1 und g2
> schneiden (windschief sind)?
>
> Dann die Geradengleichung (Vektoren), daraus entsteht
> folgendes Gleichungssystem:
>
> I) 3+3r=1+2s
> II)4 -6r=5+ 2st
> III)2 - 3rt =4+4s
[mm]g_{1}: \overrightarrow{x}=\pmat{3 \\ 4 \\ 2}+r*\pmat{3 \\ -6 \\ -3t}[/mm]
[mm]g_{2}: \overrightarrow{x}=\pmat{1 \\ 5 \\ 4}+s*\pmat{2 \\ 2t \\ 4}[/mm]
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> I) 3+3r=1+2s|⋅2
> II) 4-6r=5+ 2st
> III)2 - 3rt =4+4s
>
> I) 6+6r=2+4s
>
> I) - III) 4+6r- 3rt =-2|-4
> 6r- 3rt =-6
>
> das Ganze - III) -2+6r=-10-2s|+2+2s
>
> nannte ich dann I'') 6r+2s=-8
>
> I) - II) 12=2s|2
> s=6
>
> in I) 3+3r=13|-3
> 3r=10|3
>
> r=103
>
> r,s in III)
>
> 2-10t=28|-2
>
> -10t=26|:10
>
> t=-2,6
>
>
>
> Stimmt aber nicht. Das Ergebnis soll lauten: t = 5/2 für
> Schnitt, t [mm]\not=5/2;-2[/mm] für Windschiefe.
>
> Wäre um einen kompletten Lösungsweg dankbar, sitze jetzt
> seit Tagen an der Aufgabe und bin krank und die Zeit rennt.
> Herrje :D
>
Zunächst muß die Parallelität ausgeschlossen werden,
das heißt, die Richtungsvektoren der beiden Geraden
müssen Vielfache voneinander sein:
[mm]\pmat{3 \\ -6 \\ -3t}=\lambda*\pmat{2 \\ 2t \\ 4}[/mm]
Aus [mm]3 = \lambda*2 \Rightarrow \lambda = \bruch{3}{2}[/mm]
Damit folgt aus
[mm]-6=¸\lambda*2t \Rightarrow t = -2[/mm]
Aus der 3.Bedingung folgt
[mm]-3*\left(-2\right)=6 = \bruch{3}{2} * 4 = 6 [/mm]
Nun, zum Gleichungssystem:
Aus (I) ergibt sich
[mm]3+3r=1+2s \Rightarrow 2s=2+3r[/mm]
Eingesetzt in (II):
[mm]4 -6r=5+ 2st \gdw 4-6r=5+\left(2+3r\right)*t[/mm]
[mm]\Rightarrow r = -\bruch{2t+1}{3t+6}[/mm]
Dies in (III) eingesetzt liefert:
[mm]2-3rt=4+2\left(2+3\right)[/mm]
[mm]\gdw -6 = 6r+3rt [/mm]
[mm]\gdw -6 = r*\left(3t+6\right)[/mm]
[mm]\gdw -6=-\left(2t+1\right)[/mm]
woraus sich [mm]t=\bruch{5}{2}[/mm] ergibt.
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> Vielen Dank im Voraus,
>
> Myrinne
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>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Lineares-Gleichungssystem-130
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 07.06.2009 | | Autor: | Myrinne |
Hallo MathePower,
vielen lieben Dank!
Leider kann ich den Weg nicht ganz nachvollziehen,
könntest du (oder jemand anders) mir vielleicht den Lösungsweg ab dem in II) eingesetzten s (4 - 6r = 5+(2+3r)*t) genauer erklären/aufschreiben?
Dankeschön im Voraus!
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Ich zitiere hier Mathe-Power und ergänze nur Zwischenschritte:
Eingesetzt in (II):
>$ 4 -6r=5+ 2st [mm] \gdw 4-6r=5+\left(2+3r\right)\cdot{}t [/mm] $
<Beginn Zwischenschritte>
$ [mm] \gdw [/mm] 4 - 6r = 5 + 2t + 3t*r $ | [mm] + 6r - 5 - 2t [/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] -1 - 2t = 3t*r + 6*r $ | T
$ [mm] \gdw [/mm] -(1+2t) = (3t+6)*r $ | [mm]:(3t+6) [/mm]
<Ende Zwischenschritte>
>$ [mm] \gdw [/mm] r = [mm] -\bruch{2t+1}{3t+6} [/mm] $ (t [mm] \ne [/mm] -2, das konnte man ja schon ausschließen)
>Dies in (III) eingesetzt liefert:
$ 2-3rt=4+ 4s $
$ [mm] \gdw [/mm] 2 - 3rt = 4 + 2*(2+3r) $ (weil 2s=2+3r) - jetzt erstmal umformen
[mm] 2 - 3rt = 8 + 6r [/mm] | - 8 + 3rt
[mm] -6 = 3rt + 6r [/mm] | Ausklammern
[mm] -6 = r(3t + 6)[/mm] | jetzt den Bruch für r einsetzen
[mm] -6 = -\bruch{2t+1}{3t+6}*(3t+6)[/mm] | Nenner kürzt sich raus
[mm] -6 = -(2t+1) [/mm] | Klammer auflösen
[mm] -6 = -2t - 1 [/mm] | +1
[mm] -5 = -2t [/mm] | : (-2)
[mm] t = \bruch{5}{2}[/mm]
Fazit: Zunächst mal kannst du t = -2 ausschließen, weil die beiden Geraden dann in die gleiche Richtung verlaufen (parallel oder identisch --> genauere Prüfung zeigt: echt parallel). Wenn du die beiden Geraden gleichsetzt, bekommst du nur dann eine Lösung heraus, wenn t=2,5 ist. Für alle anderen Fälle gibt es also keine Lösung, sprich die Geraden haben keine gemeinsamen Punkte. Und da du t=-2 schon als parallel abgehakt hattest, müssen die Geraden in allen anderen Fällen windschief liegen.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 07.06.2009 | | Autor: | Myrinne |
Klasse, vielen Dank.
Nachvollziehen konnte ich es, selber auf andere Aufgaben anwenden oder vielmehr den Weg selbst sehen gestaltet sich aber noch etwas schwierig... ;)
Liebste Grüße,
Myrinne
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