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Forum "Integrationstheorie" - Lösung uneigentliches Integral
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Lösung uneigentliches Integral: Lösung oder Idee gesucht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:00 Do 06.12.2007
Autor: Martin1983

Aufgabe
Gesucht ist die Lösung des folgenden Integrals:

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{3}}{e^{x}-1} dx} [/mm]

wobei e die eulersche Zahl ist. (Integral bei Planck Intensität wichtig)

Ich habe schon versucht das Integral mittels partieller Integration zu lösen, per substitution klappt es auch nicht und ich habe den Eindruck, als wäre es auch kein analytisch lösbares Integral. Numerisch? Wenn ja mittels welcher Methode?

Kann mir jemand sagen, was ich tuen muss um dieses Integral zu lösen?

Vielen herzlichen Dank


Martin

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Lösung uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:30 Do 06.12.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Analytisch geht das tatsächlich nicht, sondern nur numerisch.

Möglichkeiten zur numerischen INtegration gibt es einige, ich wüßte jetzt aber keine, mit denen das effizient per Hand ginge.

Aber letztendlich sind solche Verfahren recht einfach. Die Ober- und Untersummenmethode solltest du aus der Schule kennen, für den Rechner ist es kein Problem, daraus die Trapezregel zu machen. Man setzt dabei auf jedes Rechteck noch ein Dreieck drauf. Letztendlich ist das das gleiche, als würdest du den Mittelwert der Rechtecke für Ober- und Untersumme bilden.

Dies ist der simple Grundgedanke. Das meiste andere sind Verfeinerungen.

Bezug
        
Bezug
Lösung uneigentliches Integral: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Do 06.12.2007
Autor: Martin1983

Ich will nicht unhöflich sein, da ich das System noch nicht richtig zu verstehen scheine, aber wie kommt  Loddar auf die Idee die Frage als beantwortet zu markieren, wenn sie das für mic noch garnicht ist. Immerhin hat mir niemand mit beispielsweise nennung eines echten Lösungsansatzes helfen können.



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Lösung uneigentliches Integral: konkret rückfragen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Do 06.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Martin!


Dann solltest Du aber auch bitte konkrete Rückfragen stellen und nicht kommentarlos den Status der Frage verändern.


Gruß
Loddar


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Lösung uneigentliches Integral: Kann ich nicht nachvollziehen.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Do 06.12.2007
Autor: Martin1983

Wieso soll ich dazu etwas schreiben? Ich habe doch damit nur gezeigt, dass es für mich nicht gelöst ist. Wieso soll ich tausend postings dazu schreiben, obwohl deren wesentliche Information gleich NULL ist und die die lesbarkeit heruntersetzen???

Also nochmal: Ich brauche konkrete Lösungshinweise, Methoden oder ähnliches. Dass es nur nurmerisch geht ist mir klar, aber WIE???

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Lösung uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Fr 07.12.2007
Autor: Martin243

Hallo,

es gibt tatsächlich eine analytische Lösung für dieses Problem, nur weiß ich nicht, wie man dort hinkommt.
Wenn es dir aber nur auf den Wert ankommt, dann musst du dich wenigstens nicht numerisch abmühen, denn meine schlauen Tabellen besagen:
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{3}}{e^{x}-1} dx} [/mm]  = [mm] -2\pi^4B_4 [/mm] = [mm] \bruch{\pi^4}{15}$. [/mm]
[mm] $B_4$ [/mm] ist dabei die vierte Bernoulli-Zahl.

Ich setze die Frage auf "teilweise beantwortet", falls du es doch noch numerisch lösen willst (oder jemand den analytischen Weg kennt).


Gruß
Martin

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Lösung uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Fr 07.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

Es handelt sich hier um einen Spezialfall der Debye-Funktion:

[]Wolfram Mathworld

[]Abramowitz and Stegun, 27.1.3

Letzterer ist immer noch die Referenz für derlei Fragen.

Viele Grüße
   Rainer

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Lösung uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Fr 07.12.2007
Autor: Martin243

Hallo,

das kannte ich noch nicht.

Für fiese Integrale empfehle ich Gradshteyn & Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products.


Gruß
Martin

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Lösung uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Fr 07.12.2007
Autor: rainerS

Hallo Martin!

> Für fiese Integrale empfehle ich Gradshteyn & Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products.

Oh ja. Und gegen fiese Insekten ;-)

Abramowitz/Stegun enthält dafür jede Menge Formeln, Graphen und Tabellen. Ich kenne zum Beispiel keine bessere Übersicht über orthogonale Polynome oder die hypergeometrische Funktion.

Viele Grüße
   Rainer

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Bezug
Lösung uneigentliches Integral: Herzlichsten Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Fr 07.12.2007
Autor: Martin1983

Hallo und guten Abend!

Ich danke euch allen herzlichst dafür. Ihr seid echt TOP !


MfG

Martin

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