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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 16.12.2006 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{2}{x-2}\le\bruch{3}{x} [/mm] |
Ich habe es so gemacht :
Dx = R \ {2,0}
1. Fall
x-2>0 => x>2
2/(x-2) <= 3/x
2x <= 3x-6
x>=6
Lx1 : { x¦ x>2 und x>=6}
Lx1 : { x¦ x>=6}
2.Fall
x-2<=0 => x<2
2/(x-2)>= 3/x
2x>= 3x-6
x<=6
Lx2 = {x¦x<2 und x<=6}
Lx2 = {x¦x<2}
.
.
.
.
Lx = {x¦ x>=6 oder x<2}
Doch die richtige Lösung ist :
Lx = {x¦ 0<x<2 oder x>=6}
Ich möchte gern wissen, wo mein Fehler liegt.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> 2.Fall
>
> x-2<=0 => x<2
Da Du die Ungleichung auch mit dem Term $x_$ multiplizierst, musst Du also eine weitere Einschränkung bzw. genauere Fallunterscheidung machen.
Dein 2. Fall müsste also lauten: $0 \ < \ x \ < \ 2$
Damit gilt nämlich: $x \ > \ 0$ aber $x \ < \ 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x*(x-2) \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Ungleichheitszeichen umdrehen:
$2*x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 3*x-6$
Der 3. Fall lautet dann: $x \ < \ 0 \ < \ 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x*(x-2) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$
$2*x \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 3*x-6$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | belf |
Hallo Loddar,
Ich danke Dir für deine Antwort, aber ich habe es nicht kapiert. Wäre es möglich Schritt für Schritt zu erklären ?
Danke !
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belf!
Einer der wenigen Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen ist, dass man bei Ungleichungen aufpassen muss, ob man nicht mit einem negativen Term multipliziert bzw. dividiert. Denn in diesem Falle dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Da wir in unserer Bruchungleichung sowohl mit $x_$ als auch mit $(x-2)_$ multiplizieren wollen, müssen wir diese Terme untersuchen und entsprechende Fälle untersuchen.
Das ergibt zunächst vier Fälle:
1. $x \ > \ 0$
2. $x \ < \ 0$
3. $x-2 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 2$
4. $x-2 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 2$
Dabei kann man nun die beiden Fälle (1) und (4) zusammenfassen zu: $0 \ < \ x \ < 2$ .
Denn wenn Fall (3) vorliegt, ist Fall (1) automatisch mit erfüllt; genauso liegt bei Fall (2) gleichzeitig Fall (4) vor.
Es verbleiben also folgende Fallunterscheidungen:
a. $x \ < \ 0$
b. $0 \ < \ x \ < \ 2$
c. $2 \ < \ x$
Und nun schauen wir uns die jeweiligen Produkte $x*(x-2)_$ an.
Fall a. Beide Terme sind negativ, und gemäß "Minus mal Minus" ist $x*(x-2) \ > \ 0$ , also positiv.
Fall b. Der Term $x_$ ist positiv, der Term $(x-2)_$ negativ. Also: $x*(x-2) \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ .
Fall c. Auch hier dann gemäß "Plus mal Plus" ein positives Gesamtergebnis.
Nun müssen wir also die Bruchungleichung insgesamt 3-mal ausrechnen, für jeden der 3 Fälle.
Dabei bleibt bei den Fällen (a) und (c) das Ungleichheitszeichen bestehen. Nur bei Fall (b) dreht sich mit der Multiplikation mit $x*(x-2)_$ das Ungleichheitszeichen um:
$2*x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 3*(x-2)$
Die 3 entstehenden Lösungsmengen müssen dann natürlich auch mit den 3 Definitionsmengen der jeweiligen Fälle vergleichen werden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 17.12.2006 | | Autor: | belf |
Hallo Loddar,
Ich danke dir für die tolle Erklärung ! Jetzt begreife ich es !
Liebe Grüsse,
Belf
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